平面ひずみ状態

平面ひずみ状態の概要

平面ひずみ状態とは、物体が特定の平面上でのみ変形する状態を指します。この状態では、変位成分が z 軸に依存せず、以下のように表現されます。

• - u = u(x, y)
• - v = v(x, y)
• - w = 0

ここで、u、v、w はそれぞれ x、y、z方向の変位を示しています。この概念は、特に z 軸方向に長く伸びた柱体に、外力が均一に作用する際に適用されることが一般的です。

平面ひずみ状態の特性

平面ひずみ状態では、物体の3次元的な変形が考慮されず、主に x および y 方向の変形が重要となります。これにより、応力とひずみの関係をシンプルに扱うことができ、工学的な解析や設計において広く用いられるモデルの一つとなっています。ここで考慮すべきなのは、通常のフックの法則に基づく応力の計算です。

フックの法則の適用

平面ひずみ状態において適用されるフックの法則は、次の形式で表現されます。ここで、λとμはラメ定数を示しています。

応力の式

以下の式によってそれぞれの方向の応力が定義されます。

• - σ_x = 2μϵ_x + λ(ϵ_x + ϵ_y)
• - σ_y = 2μϵ_y + λ(ϵ_x + ϵ_y)
• - σ_z = λ(ϵ_x + ϵ_y)

ここで、σ_x、σ_y、σ_zはそれぞれx、y、z方向の応力を示し、ϵ_x、ϵ_yはそれぞれの方向のひずみを意味します。また、τ_x_yはせん断応力を表し、次のように表されます。

• - τ_x_y = 2μγ_x_y
• - τ_y_z = τ_z_x = 0

この式からわかる通り、平面ひずみ状態では z 軸方向の応力はゼロにはならず、z 軸方向に働く力が存在することに注意が必要です。

ヤング率とポアソン比による関係

さらに、この平面ひずみ状態におけるひずみを、ヤング率 E とポアソン比 ν を用いて表現すると以下のようになります。

• - ϵ_x = (1/E')(σ_x - ν'σ_y)
• - ϵ_y = (1/E')(σ_y - ν'σ_x)
• - ϵ_z = 0

また、せん断ひずみの関係は次のように表されます。

• - γ_x_y = (1/2G)τ_x_y
• - γ_y_z = γ_z_x = 0

ここで、E' と ν' は次のように定義されます。

• - E' = E/(1 - ν^2)
• - ν' = ν/(1 - ν)

このように平面ひずみ状態は、平面応力状態の関係式に変換可能であり、柔軟性を持った解析が可能です。

結論

平面ひずみ状態は、特に柱体や圧力を受ける構造物の設計において重要な役割を果たします。理解を深めることで、材料の強度や変形特性を適切に予測できるため、実際の工学問題において効果的に活用することが可能です。

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