ひずみ

ひずみ：物体の変形状態を表す尺度

連続体力学において、ひずみとは物体の変形状態を定量的に表す尺度です。具体的には、物体の基準状態（初期状態）に対する、物質点の単位長さあたりの変位量として定義されます。

ひずみの概要

物体の変形は、変形後の物質点の位置xを基準位置Xの関数として、x = F(X)で表現できます。この変形に対して、ひずみεは微分を用いて以下のように定義されます。

ε ≐ ∂/∂X (x - X) = ∂F/∂X - 1

この式からわかるように、ひずみは無次元量であり、物体の変形度合いを示す指標となります。ひずみは、応力と同様に垂直成分とせん断成分に分解できます。垂直ひずみは部材軸方向の変形、せん断ひずみは部材軸と垂直な方向の変形を表します。

垂直ひずみは、物体の長さが増加する場合は引張ひずみ、減少する場合は圧縮ひずみと呼ばれます。

ひずみ理論の分類

ひずみの大きさに基づき、変形の解析は3つの理論に分類されます。

1. 微小ひずみ理論: ひずみと回転が共に小さい場合に適用されます。物体の変形前後の状態を同一とみなせるため、弾性挙動を示す材料（例：コンクリート、銅）の解析に用いられます。
2. 有限ひずみ理論: 任意の大きさの回転とひずみによる変形を扱う理論です。変形前後の状態が大きく異なるため、それらを明確に区別する必要があります。変位とひずみの関係は非線形となります。エラストマー、塑性変形材料、流体、生体軟組織などの解析に用いられます。
3. 大変位理論: ひずみは小さいものの、回転と変位が大きい場合に適用されます。

それぞれの理論において、ひずみの定義は異なります。工学ひずみは微小変形の場合に用いられ、機械工学や構造力学で広く用いられる最も一般的な定義です。しかし、工学ひずみが1%を超えるような大きな変形を示す材料（例：エラストマー、ポリマー）に対しては、ストレッチ、対数ひずみ、グリーンひずみ、アルマンジひずみなど、より複雑な定義が必要となります。

微小ひずみ理論におけるひずみの定義

垂直ひずみ

フックの法則に従う等方性材料では、垂直応力によって垂直ひずみが生じます。面積dx×dyの2次元微小矩形材料要素を考えます。変形後、この要素はひし形になります。x軸方向の垂直ひずみεxは、変形後の長さの変化量を元の長さで割ることで定義されます。

εx = (変形後の長さ - 元の長さ) / 元の長さ = ∂ux/∂x

同様に、y軸方向、z軸方向の垂直ひずみは以下のように表されます。

εy = ∂uy/∂y, εz = ∂uz/∂z

せん断ひずみ

せん断ひずみは、2つの線分間の角度変化として定義されます。微小変形の場合、せん断ひずみγxyは以下のように表されます。

γxy = ∂uy/∂x + ∂ux/∂y

同様に、yz平面、zx平面についてもせん断ひずみを定義できます。微小ひずみテンソルはこれらの成分を用いて表現されます。

工学ひずみ、ストレッチ、対数ひずみ

工学ひずみ

工学ひずみ（コーシーひずみ）は、荷重による物体の初期状態に対する総変形の比として定義されます。部材軸方向荷重による工学垂直ひずみeは、以下の式で表されます。

e = (ℓ - L) / L

ここで、ℓは変形後の長さ、Lは初期の長さです。

ストレッチ

ストレッチ（延伸比）は、線要素の変形後の長さℓと変形前の長さLの比で定義されます。

λ = ℓ / L

ストレッチは、工学ひずみと以下の関係にあります。

e = λ - 1

対数ひずみ

対数ひずみ（自然ひずみ、真ひずみ、ヘンキーひずみ）は、ひずみ増分を積分することで得られます。

ε = ∫(δℓ/ℓ) = ln(ℓ/L) = lnλ = ln(1+e)

対数ひずみは、ひずみ経路の影響を考慮した最終的なひずみを表します。

有限ひずみ理論におけるひずみの定義

グリーンひずみ

グリーンひずみ（グリーン・ラグランジュひずみ）は、基準長さに対する変形の度合いを表します。

εG = (ℓ² - L²) / (2L²)

アルマンジひずみ

アルマンジひずみ（オイラー・アルマンジひずみ）は、変形後の長さに対する変形の度合いを表します。

εE = (ℓ² - L²) / (2ℓ²)

地震におけるひずみ

地震学においても、岩盤（プレート）の変形、またはその大きさをひずみと呼びます。プレート運動によって岩盤に蓄積されたひずみが限界に達すると、地震が発生します。

適合条件式

ひずみテンソルは2階の対称テンソルであり、自由度は6です。しかし、変位の自由度は3であるため、ひずみ成分間には関係式（適合条件式）が存在します。適合条件式は、ひずみ場が物理的に実現可能な変位場に対応する条件を示しています。

参考文献

（参考文献リストは省略）

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