平面応力状態

平面応力状態の概要

平面応力状態とは、物体内部における応力が平面的であり、特定の座標系においてz軸方向の応力成分がゼロである状態を指します。具体的には、次の条件が満たされます。

\[
σ_z = τ_{zx} = τ_{zy} = 0
\]

この状態は、薄い板の中央面に沿って外力が均等に作用し、板の上下に外力がかからない場合に成立します。そのため、残りの応力成分や変位成分はxおよびyの関数として近似的に扱うことができます。

フックの法則による分析

平面応力状態におけるフックの法則は、ヤング率Eとポアソン比νを用いて以下のように表されます。\(σ_x\) と \(σ_y\) の関係は次のようになります。

\[
σ_x = 2μϵ_x + λ' (ϵ_x + ϵ_y),
\]
\[
σ_y = 2μϵ_y + λ' (ϵ_x + ϵ_y),
\]
\[
σ_z = 0,
\]
\[
τ_{xy} = 2μγ_{xy},
\]
\[
τ_{yz} = γ_{zx} = 0
\]

ここで、\(λ'\)はラメ定数として定義され、次のように表されます。

\[
λ' = \frac{2λμ}{λ + 2μ}
\]

さらに、ひずみを表す式は次のようになります。

\[
ϵ_x = \frac{1}{E}(σ_x - νσ_y),
\]
\[
ϵ_y = \frac{1}{E}(σ_y - νσ_x),
\]
\[
ϵ_z = -\frac{ν}{E}(σ_x + σ_y)
\]

平面応力状態では、z軸方向の垂直ひずみはゼロではなく、xy平面のひずみに関連して生じることに注意が必要です。

エアリーの応力関数

平面応力状態の平衡方程式は、外力が作用しない場合、次のようになります。

\[
\frac{∂σ_x}{∂x} + \frac{∂τ_{xy}}{∂y} = 0,
\]
\[
\frac{∂τ_{xy}}{∂x} + \frac{∂σ_y}{∂y} = 0.
\]

これをエアリーの応力関数\(φ\)を使って表現すると、以下の関係が成り立ちます。

\[
σ_x = \frac{∂^2φ}{∂y^2},
\]
\[
σ_y = \frac{∂^2φ}{∂x^2},
\]
\[
τ_{xy} = -\frac{∂^2φ}{∂x∂y}.
\]

フックの法則を用いることで、応力関数とひずみとの関係を導出し、次の条件を得ることができます。

\[

abla^4 φ = \frac{∂^4φ}{∂x^4} + 2\frac{∂^4φ}{∂x^2∂y^2} + \frac{∂^4φ}{∂y^4} =
abla^2 (σ_x + σ_y) = 0.
\]

この式は、φが重調和関数であること、すなわち主応力和が調和関数であることを示しています。また、この応力関数は複素関数として表現することも可能であり、この場合、ウェスターガードの応力関数と呼ばれます。

脚注

この平面応力状態の理解は、材料力学における重要なエッセンスであり、関連するトピックとして平面ひずみ状態やエアリー、ウェスターガードの研究などがあることを付け加えておきます。

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