広義固有ベクトル

一般化固有ベクトル入門

線形代数学において、一般化固有ベクトルは、通常の固有ベクトルの概念を拡張したものです。通常の固有ベクトルは、線形変換によって方向が変わらないベクトルとして定義されますが、一般化固有ベクトルは、線形変換を繰り返し適用することで、方向が定まるベクトルと考えることができます。

概要と定義

まず、通常の固有ベクトルについて振り返りましょう。n × n 行列 A の固有値 λ に対する固有ベクトル x は、以下の式を満たすゼロベクトルでないベクトルとして定義されます。

(λI - A)x = 0

ここで、I は n × n 単位行列、0 は n 次元零ベクトルです。つまり、固有ベクトル x は、変換 A - λI の核に属します。行列 A が n 個の線形独立な固有ベクトルを持つ場合、A は対角化可能です。すなわち、可逆行列 M が存在し、A は D = M⁻¹AM という相似変換によって対角行列 D に変換できます。この D は A のスペクトル行列、M はモード行列と呼ばれます。対角化可能な行列は、行列関数の計算などが容易になるという利点があります。

しかし、n × n 行列 A が n 個の線形独立な固有ベクトルを持たない場合、A は対角化不可能です。この場合に一般化固有ベクトルが登場します。

一般化固有ベクトルの定義は以下の通りです。ベクトル xₘ が行列 A の固有値 λ に対応する階数 m の一般化固有ベクトルであるとは、以下の条件を満たすことを言います。

(A - λI)ᵐxₘ = 0

かつ

(A - λI)ᵐ⁻¹xₘ ≠ 0

階数 1 の一般化固有ベクトルは、通常の固有ベクトルに一致します。重要なのは、任意の n × n 行列 A は、n 個の線形独立な一般化固有ベクトルを持ち、ジョルダン標準形と呼ばれる「ほぼ対角」な行列 J に相似であるということです。つまり、可逆行列 M が存在して、J = M⁻¹AM となります。この M は A の一般化モード行列と呼ばれます。

ジョルダン鎖

一般化固有ベクトルは、ジョルダン鎖と呼ばれる線形独立なベクトルの集合を形成します。階数 m の一般化固有ベクトル xₘ から出発し、以下のようにしてジョルダン鎖を構成します。

(A - λI)xₘ = xₘ₋₁
(A - λI)xₘ₋₁ = xₘ₋₂
...
(A - λI)x₂ = x₁
(A - λI)x₁ = 0

この鎖において、xᵢ は固有値 λ に対応する階数 i の一般化固有ベクトルです。

ジョルダン標準形

一般化固有ベクトルを用いることで、行列 A をジョルダン標準形 J に相似変換することができます。ジョルダン標準形は、対角線上に固有値が並び、対角線上に隣接する要素に 1 が配置された上三角行列です。A が対角化可能な場合、ジョルダン標準形は対角行列になります。ジョルダン標準形は、行列関数の計算や線形微分方程式系の解法に役立ちます。

計算例

具体的な行列を用いて、一般化固有ベクトルの計算方法を説明します。ここでは、対角化不可能な行列の例をいくつか示し、一般化固有ベクトルを求め、ジョルダン標準形への相似変換を行う手順を解説します。さらに、一般化固有ベクトルを用いた行列関数の計算や、線形微分方程式系の解法についても説明します。

応用

行列関数

一般化固有ベクトルは、対角化不可能な行列の関数を計算する際に役立ちます。ジョルダン標準形を用いることで、行列関数の計算が容易になります。

微分方程式

線形微分方程式系 x' = Ax を解く際にも、一般化固有ベクトルが有効です。A が対角化可能な場合は容易に解けますが、対角化不可能な場合は、一般化固有ベクトルとジョルダン標準形を用いることで解を求めることができます。

まとめ

一般化固有ベクトルは、線形代数学において重要な概念であり、対角化不可能な行列の性質を理解し、行列関数や微分方程式を扱う上で不可欠なツールです。この文書では、一般化固有ベクトルの定義、計算方法、ジョルダン標準形との関係、そして行列関数や微分方程式への応用について解説しました。より深い理解のためには、参考文献を参照することをお勧めします。

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