弱微分

弱微分についての解説

弱微分（じゃくびぶん、英: weak derivative）とは、通常の微分の概念を拡張し、微分可能でない関数に適用できるようにした重要な数学的枠組みです。特に、ルベーグ空間に属し、積分可能な関数に対して定義されます。弱微分はその性質上、微分方程式や関数解析などの分野で極めて有用です。

定義

基本的に、ルベーグ空間 L1([a, b]) に属する関数 u があるとき、関数 v も同じく L1([a, b]) に属するとします。このとき、無限回微分可能な関数 φ が以下の条件を満たすとき、u の弱微分は v に等しいとされます。

$$ \int_a^b u(t) φ'(t) \, dt = - \int_a^b v(t) φ(t) \, dt $$

この式は部分積分の手法に基づいており、微分可能性を持たない関数に対しても適用できる柔軟性があります。

また、この定義は n 次元空間にも拡張され、局所的に可積分な関数の空間でも同様の概念が適用されます。この場合、任意の多重指数 α が存在するとき、次の条件が成立します。

$$ \int_U u D^α φ = (-1)^{|α|} \int_U v φ $$

ここで、D^α は多重微分を表し、これにより u の α 次弱微分が定義されます。

例

弱微分の具体的な例として、絶対値関数 u(t) = |t|が挙げられます。この関数は t = 0 で微分可能ではありませんが、それに対応する弱微分 v(t) は次のように定義されます。

$$ v(t) = \begin{cases}
1, & \text{if } t > 0; \\
0, & \text{if } t = 0; \\

• -1, & \text{if } t < 0;

\end{cases} $$

ここでの v は c 数で |t| の弱微分となります。しかし、u の弱微分はこれだけではなく、ほとんど至る所で v に等しい任意の関数も弱微分として成立します。

他にも、有理数の特性関数 χQ はどの点でも微分可能ではありませんが、弱微分が存在します。この場合、弱微分 v(t) = 0 となり、χQはルベーグ測度ゼロの集合に属するため、ゼロ関数と同一視されます。

性質

弱微分には重要な性質があり、同じ関数の異なる弱微分はルベーグ測度ゼロの集合を除くと等しいとされています。このことは、ほとんど至る所で等しい関数を考える際に有用であり、弱微分の一意性を保証します。

さらに、u が通常の微分可能な場合、その弱微分は強微分と一致します。したがって、弱微分は強微分を一般化した概念とみなすことができます。

拡張

弱微分は特にソボレフ空間における弱解の構築に利用され、微分方程式などの解決に重要な役割を果たします。まさに弱微分の概念が、現代の数学において不可欠なものとなっている理由です。

関連項目

• - 劣微分
• - シュワルツの超関数
• - 部分積分
• - ソボレフ空間
• - 弱解

参考文献

• - Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). Elliptic partial differential equations of second order. Berlin: Springer.
• - Evans, Lawrence C. (1998). Partial differential equations. Providence, R.I.: American Mathematical Society.
• - Knabner, Peter; Angermann, Lutz (2003). Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. New York: Springer.

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