形式主義 (数学)

数学における形式主義

数学における形式主義とは、数学の命題を少数の記号で表現し、証明を純粋に記号の操作として捉える考え方です。この立場では、数学は特定のルール（公理と推論規則）に従って行われるゲームと見なされます。

概要

形式主義の最も根本的な見方では、数学はルールに従って進められるゲームであり、ルールの変更によって生まれる異なるゲームは、それぞれ同等であると考えます。この考え方は、ダフィット・ヒルベルトによって提唱されました。ヒルベルトは、数学をゲームとして捉えることで、数学的実在に関わることなく、数学の無矛盾性を証明することを目的としました（ヒルベルト・プログラム）。

形式主義によれば、数学的命題は、特定の文字列処理ルールに従う命題と解釈されます。例えば、ユークリッド幾何学は、公理と呼ばれる文字列と、そこから新しい文字列を生成する推論規則からなる「ゲーム」とみなすことができます。このゲームでは、ピタゴラスの定理が有効であることを証明できます。この観点から、数学的真理は、数や集合などの具体的な対象に関するものではなく、記号操作の有効性に関するものと捉えられます。

もう一つの形式主義の形として、演繹主義があります。演繹主義では、ピタゴラスの定理は絶対的な真理ではなく、特定のルールの下での相対的な真理として扱われます。もしゲームのルールが真であると解釈されるならば、その理論を受け入れる必要があります。形式主義は、数学を無意味な記号ゲームと捉える必要はなく、ゲームに適用するルールの解釈が重要です。構造主義はこの立場と類似しており、数学者が安心して研究を進めるために、このような解釈は哲学者や科学者に委ねられることがあります。

ヒルベルトの形式主義

形式主義の初期の提唱者であるダフィット・ヒルベルトは、完全で矛盾のない数学の公理化を目指しました。彼は、「有限算術」と呼ばれる自然数の算術のサブシステムに矛盾がないという仮説から、数学体系の一貫性を示すことを目指しました。しかし、ゲーデルの第二不完全性定理によって、ヒルベルトの目標は大きな打撃を受けました。この定理は、十分に表現力の高い矛盾のない公理系は、その体系自体の無矛盾性を証明できないことを示しています。

ヒルベルトは当初演繹主義者でしたが、後に確実な超数学的な方法を考案し、有限算術に関しては現実主義者となりました。その後、彼は、数学は解釈に関わらず、他の意味を持たないと考えました。

その他の形式主義者

ルドルフ・カルナップ、アルフレト・タルスキ、ハスケル・カリーのようなその他の形式主義者は、数学を形式的な公理系の研究と捉えました。数理論理学者は形式的な体系を研究しますが、彼らは現実主義者であると同時に形式主義者でもあります。形式主義者は、新しい論理学、非標準的な記数法、新しい集合論など、新しい試みに寛容です。彼らは、研究するゲームがより良いものであることを期待しています。

形式主義への批判

形式主義に対する主な批判は、数学者が実際に行っている数学的なアイデアが、単なる文字列操作というにはあまりにもかけ離れているという点です。公開された証明は、原理的にはゲームの言葉で体系化できるかもしれませんが、その取り組みは非常に困難であり、現実的ではありません。また、形式主義は、なぜ公理系を研究すべきかという疑問に対して明確な答えを提供していません。

参考文献

クルト・ゲーデル『ゲーデル 不完全性定理』岩波書店、2006年
佐々木力、彌永昌吉 編『現代数学対話』朝倉書店、1986年
ソーンダース・マックレーンほか『数学の基礎をめぐる論争』シュプリンガー・フェアラーク東京、1999年

関連項目

直観主義
哲学

外部リンク

Formalism （英語） - スタンフォード哲学百科事典

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