後者関数

後者関数

概要

後者関数（こうしゃかんすう、英語: successor function）は、数学の分野で用いられる基本的な関数の一つです。自然数全体の上で定義され、任意の自然数 n に対して、その次の自然数である n + 1 を返します。関数 S を用いて、S(n) = n + 1 と表されます。例えば、S(3) = 4、S(100) = 101 となります。この操作は「後者演算」とも呼ばれ、特にハイパー演算の階層における最も基本的なレベル（0番目）として「ゼレーション」(zeration) と呼ばれることもあります。後者関数は、原始再帰関数と呼ばれる計算可能な関数の基本的な構成要素の一つとしても知られています。

自然数の定義における役割

後者関数は、19世紀末にイタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノが提唱した、自然数を厳密に定義するための公理系、いわゆるペアノの公理において、非常に重要な役割を担っています。ペアノの公理では、自然数全体の集合 ℕ と、その上の特別な要素 0、そして後者関数 S を用いて、自然数の構造を以下のように定めます。

1. 0 は自然数である。
2. 任意の自然数 n に対して、その後者 S(n) も自然数である。
3. 0 はいかなる自然数 n の後者でもない（S(n) = 0 となる自然数 n は存在しない）。
4. 異なる自然数は異なる後者を持つ（S(m) = S(n) ならば m = n である）。
5. （数学的帰納法の原理）0 を含む集合が、その集合に属する任意の自然数の後者も含むならば、その集合はすべての自然数を含む。

これらの公理により、自然数は 0 から出発して、後者関数を繰り返し適用することで順次生成されるものとして定義されます。例えば、自然数 1 は S(0) として、自然数 2 は S(1) = S(S(0)) として定義されます。このように、自然数そのものが、加算操作よりも基本的な後者関数を基盤として構築されます。

加算の定義への応用

自然数の加算操作も、後者関数を用いて再帰的に定義することが可能です。標準的な定義では、自然数 a と b の和 a + b は、以下の二つの条件によって定まります。

1. 任意の自然数 a に対して、a + 0 = a
2. 任意の自然数 a および b に対して、a + S(b) = S(a + b)

この定義を用いると、例えば 5 + 2 という計算は次のように導出されます。

5 + 2 = 5 + S(1)
= S(5 + 1) （上記の定義 2 を適用）
= S(6)
= 7 （後者関数の定義より）

このように、後者関数 S と 0 との組み合わせによって、より複雑な演算である加算が定義され、さらにこの加算を基盤として乗算やべき乗などが定義されていきます。後者関数は、算術の基本的な演算を構築するための出発点となる概念なのです。

集合論における構成

集合論の枠組みにおいても、自然数を構成する標準的な手法の一つとして後者関数が用いられます。このアプローチでは、自然数 0 を空集合 {} と定義し、任意の集合 x に対して、その後者 S(x) を x ∪ {x} と定義します。

この定義に従うと、各自然数は以下のような集合として表されます。

0 = {}
1 = S(0) = {} ∪ {{}} = {{}}
2 = S(1) = {{}} ∪ {{{}}} = {{}, {{}}}

無限公理は、この方法で定義される 0 を含み、S によって閉じている（つまり、集合の要素 x に対して S(x) もその集合に含まれる）ような集合 ℕ の存在を保証します。この集合 ℕ の各要素が、集合論的な意味での自然数と見なされます。この構成法は、フォン・ノイマンによって考案されたものです。

数学全体における位置づけ

後者関数は、単に自然数の定義や算術の基礎にとどまらず、数学の様々な分野でその重要性を示します。前述のように、加算、乗算、べき乗、テトレーションなど、より高次の演算を再帰的に定義していく「ハイパー演算」の無限階層の基盤となっています。

また、計算可能性理論においては、チューリングマシンなどで計算可能な関数を特徴づける際に用いられる、基本的な「原始再帰関数」の一つとして位置づけられています。後者関数は非常に単純な操作でありながら、他の基本的な原始再帰関数（ゼロ関数、射影関数）と組み合わせることで、あらゆる原始再帰関数を構成することが可能になります。

関連概念としては、順序数や基数といった集合論における概念の後続（後続順序数、後続基数）や、コンピュータプログラミングにおけるインクリメント操作（変数の値を1増やす）などがあります。これらは文脈は異なりますが、「次」の要素や状態への移行という点で後者関数の考え方と通じる部分があります。後者関数は、数学の基本的な構造を理解する上で不可欠な概念と言えるでしょう。

関連項目

後続順序数
後続基数
インクリメント

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