無限公理

無限公理とは

無限公理は、公理的集合論におけるZF公理系を構成する上で不可欠な公理の一つであり、「無限集合の存在」 を主張します。この公理は、エルンスト・ツェルメロによって1908年に初めて提示されました。

定義

ZF公理系における無限公理の公式な定義は以下の通りです。

空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する

これを数式で表現すると以下のようになります。

∃A(∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ A(x ∪ {x} ∈ A))

ここで、Aは集合を表し、∅は空集合を表します。

解釈と帰結

上記の定義では「無限」という言葉は直接使われていませんが、この公理によって少なくとも一つの無限集合の存在が保証されます。

まず、定義中の集合Aは以下の性質を満たすことを確認できます。

1. ∅ ∈ A（空集合∅はAの要素である）
2. ∅ ∪ {∅} = {∅} ∈ A（空集合を要素にもつ集合はAの要素である）
3. {∅} ∪ {∅ ∪ {∅}} = {∅, {∅}} ∈ A （「空集合」と「空集合を要素にもつ集合」の二つを要素にもつ集合はAの要素である）

この操作を繰り返すことで、集合Aは

B := {∅, {∅}, {∅, {∅}}, ...}

のような要素を持つことが分かります。この集合Bは、Aの部分集合であり、各手続きで得られた集合を要素として持つ集合です。

もし、この手続きを有限回で終えた場合、Bは有限集合となり、A ≠ Bとなります。なぜなら、定義によりB ∪ {B} ∈ Aですが、B ∪ {B} ∉ Bとなるからです。一方、Aが有限集合であると仮定すると、この手続きを繰り返すことで、BがAよりも多くの要素を持つことができてしまいます。したがって、Aは有限集合ではない、つまり無限集合であると結論付けることができます。

この無限集合の構成方法は、ペアノの公理における自然数の構成方法と類似しています。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものであるとされます（可算集合）。

独立性

無限公理は、ZF公理系において他の公理から導き出すことも、反証することもできない独立した公理です。これは、無限公理がZF公理系の中で独自の役割を果たしていることを示しています。

まとめ

無限公理は、一見すると抽象的で難解な概念に思えるかもしれませんが、数学の基礎を支える重要な役割を担っています。この公理があることで、無限集合の存在が保証され、より高度な数学理論の構築が可能になります。無限公理は、数学における抽象化の力を示す好例といえるでしょう。

関連項目

公理的集合論
ペアノの公理

外部リンク

* Weisstein, Eric W. "Axiom of Infinity". mathworld.wolfram.com (英語)

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