ペアノの公理

ペアノの公理とは

ペアノの公理（Peano axioms）とは、自然数全体を特徴づける公理系のことです。これは、自然数を数学的に厳密に定義するための基礎となるもので、ペアノの公準（Peano postulates）やデデキント＝ペアノの公理（Dedekind-Peano axioms）とも呼ばれます。1891年にイタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノによって定式化されました。

ペアノの公理は、初等算術、整数、有理数、実数、複素数といった数の体系を構成するための出発点として用いられます。例えば、ランダウの著書『解析学の基礎』では、ペアノの公理を起点としてこれらの数の概念が展開されています。

ペアノの公理の内容

ペアノの公理は、以下の5つの公理から構成されます。これらの公理は、集合 \(\mathbb{N}\)（自然数全体の集合）、定数 0 、関数 \(S\)（後者関数）、および集合 \(E\) に関連して定義されます。

1. 0 は自然数である: \(0 \in \mathbb{N}\)
2. 自然数の後者は自然数である: 任意の \(n \in \mathbb{N}\) に対して、\(S(n) \in \mathbb{N}\)
3. 0 はどの自然数の後者でもない: 任意の \(n \in \mathbb{N}\) に対して、\(S(n)
e 0\)
4. 異なる自然数の後者は異なる: 任意の \(n, m \in \mathbb{N}\) に対して、\(n
e m\) ならば \(S(n)
e S(m)\)
5. 数学的帰納法の原理: 任意の \(E \subseteq \mathbb{N}\) について、\(0 \in E\) かつ任意の \(n \in \mathbb{N}\) に対して、\(n \in E \rightarrow S(n) \in E\) ならば、\(E = \mathbb{N}\)

これらの公理において、\(S(n)\) は自然数 \(n\) の後者（次の数）を表します。第五公理は、数学的帰納法の原理そのものです。

ペアノの公理は、互いに独立しており、一つの公理が他の公理から導き出すことはできません。

回帰定理

回帰定理（recursion theorem）とは、ある集合 \(X\) の元 \(x\) と写像 \(g: X \to X\) が与えられたとき、以下の条件を満たす写像 \(f: \mathbb{N} \to X\) が一意的に存在するという定理です。

\( f(0) = x, \quad f \circ S = g \circ f \)

この定理は、再帰的に定義される写像の存在と一意性を保証します。例えば、\(X = \mathbb{N}\) の場合、写像 \(f\) は初項 \(x\) の漸化式で定義される数列に相当します。

範疇性

ペアノの公理を満たす組 \((\mathbb{N}^, 0^, S^*)\) をペアノ構造（Peano structure）といいます。ペアノ構造は同型を除いてただ一つに定まる、つまりペアノの公理は範疇的（categorical）であることがわかります。ただし、ペアノ算術は超準モデルを持つため、範疇的ではありません。

集合論的な構成

現代数学では、全ての数学的対象は集合として実現されます。自然数の標準的な集合論的構成は、以下のようになります。

\( \mathbb{N} := \bigcap \{\,x \subset A \mid \emptyset \in x \land \forall y[y \in x \to y \cup \{y\} \in x]\,\} \)

\( 0 := \emptyset \)

\( S(x) := x \cup \{x\} \)

ここで、\(A\) は無限公理によって存在が保証される集合です。この構成により、具体的な自然数は以下のようになります。

\( 0 = \emptyset = \{\} \)

\( 1 := S(0) = \{0\} = \{\{\}\}\)

\( 2 := S(1) = \{0, 1\} = \{\{\}, \{\{\}\}\}\)

\( 3 := S(2) = \{0, 1, 2\} = \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\)

この構成法は、ジョン・フォン・ノイマンによって提案されました。

自然数の演算

ペアノの公理に基づいて、自然数の加法、乗法、順序を定義することができます。

加法

自然数の加法は、以下のように再帰的に定義されます。

\( n + 0 = n \)

\( n + S(m) = S(n + m) \)

乗法

自然数の乗法は、以下のように再帰的に定義されます。

\( n \cdot 0 = 0 \)

\( n \cdot S(m) = n \cdot m + n \)

順序

自然数の順序は、以下の通りに定義されます。

ある \(k\) について \(n + k = m\) が成り立つとき、\(n \le m\) と定義します。また、\(n \le m\) かつ \(n
e m\) のとき、\(n < m\) と定義します。

ペアノ算術

ペアノ算術（Peano arithmetic, PA）は、ペアノの公理に基づいた形式的な理論です。この理論は、定数記号 0、関数記号 S, +, ⋅ 、および述語記号 < を含む一階述語論理を用いて表現されます。ペアノ算術の公理は、以下のように与えられます。

1. \( \forall n
eg [S(n) = 0] \)
2. \( \forall n \forall m [S(n) = S(m) \to n = m] \)
3. \( \forall n [n + 0 = n] \)
4. \( \forall n \forall m [n + S(m) = S(n + m)] \)
5. \( \forall n [n \cdot 0 = 0] \)
6. \( \forall n \forall m [n \cdot S(m) = n \cdot m + n] \)
7. \( \forall n
eg [n < 0] \)
8. \( \forall n \forall m n < S(m)] \leftrightarrow [n < m] \lor [n = m \)
9. \( [\varphi(0) \land \forall n[\varphi(n) \to \varphi(S(n))]] \to \forall n [\varphi(n)] \)（帰納法の公理）

ペアノ算術では、自然数の標準モデル \(\mathbb{N}\) において真である Σ1 閉論理式は証明可能です。しかし、ゲーデルの不完全性定理により、ペアノ算術では証明も反証もできない命題が存在します。

ペアノの公理の歴史

ペアノは、1889年に自然数の公理の原型となるものを発表しました。ただし、この初期の公理系は、自然数以外の公理を含んでいたため、不十分なものでした。現在知られている形のペアノの公理系は、1891年に発表されました。ペアノは、自然数の持つべき性質を原始命題として扱い、自然数や1などの用語を無定義述語として扱いました。このアプローチは、形式主義的方法の典型例とされています。

まとめ

ペアノの公理は、自然数を厳密に定義するための基礎となる公理系です。この公理系は、数学的帰納法の原理を含み、自然数の算術を形式的に定義するための基盤を提供します。ペアノ算術は、この公理系に基づいた理論であり、現代数学における重要な概念と深く関連しています。

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