忠実加群

忠実加群の定義と性質

環 A 上の加群 M が忠実であるとは、その零化イデアル AnnA(M) が零イデアル {0} である場合を指します。これは、A の任意の元 α ∈ A（ただし α が零でない場合）によって行われる作用が自明でない、つまり、ある元 x ∈ M に対して α・x ≠ 0 であることを意味します。別の観点から見ると、加群 M に対する環 A の作用を表す準同型 ψ : A → End(M) が単射であることと同値です。

忠実加群の構成法

任意の加群に対して忠実加群を作成する方法があります。環の準同型 ψ : A → End(M) が単射である場合、これは準同型の核 ker ψ を考えることで分解可能です。そして、ker ψ は M の零化イデアル AnnA(M) に一致するため、この準同型を通じて M は A/AnnA(M)-加群としての構造を持ちます。

この構造の下で、単射であることが保証されるため、M は忠実であると見なされます。これにより、M が忠実加群であれば、環 A においても自明でない作用が必須であることが強調されます。

加群の性質と準同型の定理

A-加群 M の元 x に対して、Mx = M と設定します。この設定のもとで、次のような写像を定義します：

$$ϕ : A → ∏_{x ∈ M} M_x, \, a ↦ (ax)_{x ∈ M}$$

この写像は A-準同型であり、写像の核 ker φ は AnnA(M) になります。準同型定理により、次の同型が成り立ちます：

$$A / AnnA(M) ≅ ϕ(A) ⊆ ∏_{x ∈ M} M_x$$

したがって、M が忠実加群であれば、環 A は自然に A-加群と見なされたときに、部分加群に同型であることがわかります。

この特性は、忠実加群の理解を深め、環と加群の関係を明確に示す重要な要素となります。ここで示される忠実性は、特に代数的な構造解析において基盤的な役割を果たします。

参考文献

このトピックに関連する文献として、岩永恭雄と佐藤眞久の共著『環と加群のホモロジー代数的理論』があります。この書籍では、加群の性質や構造、環との相互作用について詳細に解説されており、興味深い理論的背景が提供されています。

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