扁平率

扁平率とは

扁平率（へんぺいりつ）とは、楕円や回転楕円形が、真円や球と比べてどれだけ扁平しているか、つまり「つぶれている」度合いを示す数値です。扁平率の値は、円や球のような完全な形状の場合に0となり、形状が潰れていくにつれて1に近づきます。

扁平率の定義

扁平率は、楕円や回転楕円形の長半径をa、短半径をbとすると、次の式で定義されます。

math
f = \frac{a - b}{a} = 1 - \frac{b}{a}


この式は、長半径と短半径の差を長半径で割ったものであり、扁平度を比率で表しています。
また、楕円率εを用いて、

math
f = 1 - ε


と表現することも可能です。

天体の場合は、自転による遠心力で赤道半径が極半径よりも大きくなるため、aを赤道半径、bを極半径とします。

第一扁平率、第二扁平率、第三扁平率

第一扁平率

上記で定義した扁平率fは、「第一扁平率」と呼ばれます。

第二扁平率

第二扁平率f'は、次の式で定義されます。

math
f' = \frac{a - b}{b} = \frac{f}{1 - f}

第三扁平率

第三扁平率f''は、以下の式で定義され、nと表記されることもあります。

math
f'' = \frac{a - b}{a + b} = \frac{f}{2 - f}


フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルは、子午線弧長の計算にこの第三扁平率を使用していました。

また、離心率eとの関係で、

math
n = \frac{1-\sqrt{1-e^2}}{1+\sqrt{1-e^2}} = \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{8}e^4 + ...


e^2 = \frac{4n}{(1+n)^2}


と表すことができます。

離心率との関係

楕円の離心率eは、扁平率fと次の関係があります。

math
e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{f(2 - f)}


離心率も扁平率と同様に、真円では0であり、潰れるほど1に近づきます。ただし、離心率は一般的な円錐曲線に対する概念です。
例えば、扁平率が0.1の楕円の離心率は約0.43となります。

地球の扁平率

地球の扁平率は、測量分野で使用される測地系によって異なります。陸域測量ではGRS80が、海域測量ではWGS84が用いられます。

GRS80

GRS80では、以下の値が使用されています。

赤道半径（長半径）: a = 6,378,137m
扁平率: f = 1 / 298.257222101

これにより、極半径 b は約 6,356,752.314mとなります。

WGS84

WGS84では、赤道半径はGRS80と同一ですが、扁平率がわずかに異なります。

赤道半径（長半径）: a = 6,378,137m
扁平率: f = 1 / 298.257223563

この値から、極半径は約6,356,752.314mとなり、GRS80と比較して約0.1mm長くなりますが、実用上は問題となる差ではありません。

地球の赤道面の扁平率

測量の基準となる地球楕円体では、赤道面は正円と仮定されます。しかし、実際の地球の赤道面は正円ではなく、楕円形です。この赤道面楕円の扁平率f1は約1/91026であり、長軸の向きは西経14.9291度です。

他の天体の扁平率

太陽系の他の天体の扁平率も、天体の形状を理解する上で重要な要素です。

太陽: 約9 × 10⁻⁶
水星: 0.0006 未満
金星: 0.0002 未満
火星: 0.00589 ± 0.00015
木星: 0.06487 ± 0.00015
土星: 0.09796 ± 0.00018
天王星: 0.0229 ± 0.0008
海王星: 0.0171 ± 0.0013

自転が遅く、密度の高い岩石質の天体では扁平率が小さく、自転が速く、密度の低いガス状の天体では扁平率が大きい傾向にあります。特に土星は扁平率が大きく、天体望遠鏡でもその形状が確認できます。土星の極半径が約54,364kmであるのに対し、赤道半径は約60,268kmと、大きな差が見られます。

まとめ

扁平率は、天体や楕円体の形状を理解するための重要な指標であり、様々な分野で活用されています。この記事では、扁平率の定義、種類、離心率との関係、そして地球や他の天体の具体的な数値について詳しく解説しました。これらの知識は、測量、天文学、地球科学など、幅広い分野の研究や実用に応用されています。

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