折り返し雑音

折り返し雑音（エイリアシング）とは？

折り返し雑音、あるいはエイリアシングは、統計学、信号処理、コンピュータグラフィックスなど、様々な分野で発生する現象です。簡単に言うと、異なる連続信号が標本化（離散化）された際に、区別できなくなってしまうことを指します。このとき生じる偽の信号を「エイリアス」と呼び、元の信号とエイリアスが重なって発生する歪みを「折り返しひずみ」と言います。

デジタル写真における例

デジタル写真は、ディスプレイやプリンター、あるいは私たちの目や脳によって画像が再生（補間）されます。この再生された画像が、元の画像と異なる場合、折り返しひずみが発生しています。代表的な例として、レンガの壁をピクセル数の少ない画像で表現した際に生じる「モアレ」現象が挙げられます。これは空間的な折り返しひずみです。このようなピクセル化の問題を防ぐ技術を「アンチエイリアス」と言います。

音響信号とストロボ効果

時間的な折り返し雑音は、ビデオや音響信号の標本化において大きな問題となります。例えば、人間の耳には聞こえない高周波成分を含む音楽を、低すぎるサンプリング周波数で標本化し、デジタル-アナログ変換回路で再生すると、高周波が低周波の折り返し雑音として聞こえてしまうことがあります。そのため、標本化の前にフィルタ回路を用いて高周波成分を除去することが一般的です。

低周波成分を排除した場合にも同様の現象が発生し、高周波成分が意図的に低周波として再生される場合があります。デジタルチャネライザなどでは、計算効率化のためにこの折り返し雑音を利用するものもあります。低周波成分を全く含まない信号は、バンドパス信号あるいは非ベースバンド信号と呼ばれます。

ビデオや映画撮影では、フレームレートが有限であるためストロボ効果が生じ、例えば車輪のスポークがゆっくり回転したり、逆回転しているように見える場合があります。これは、折り返し雑音が回転の周波数を変化させているためです。逆回転は負の周波数で説明できます。

標本化とサンプリング周波数

ビデオカメラやデジタルカメラなど、標本化は一般的に周期的に行われ、「サンプリング周波数」という性質を持ちます。デジタルカメラでは、単位長さあたりのピクセル数、音響信号では、1秒あたりの標本数です。特に、標本化対象の信号自体に周期性がある場合、折り返し雑音の影響は大きくなります。

正弦曲線と折り返し雑音

正弦曲線は重要な周期関数であり、多くの信号は異なる周波数と振幅の正弦曲線と余弦曲線の総和で表すことができます。信号を正弦曲線と余弦曲線の無限和で表すことをフーリエ級数、有限個の標本点から正弦曲線と余弦曲線の有限和で表すことを離散フーリエ変換（逆離散フーリエ変換）といいます。正弦曲線における折り返し雑音を理解することは、複雑な信号における折り返し雑音を理解する上で重要です。

図解を交えて説明すると、異なる周波数の2つの正弦波が、特定のサンプリング周波数では同じ標本点を生成することがあります。この場合、両正弦波を区別することができず、折り返し雑音が発生します。

数学的には、サンプリング周波数fsで周波数fの正弦波を標本化したとき、周波数gの正弦波と標本点で一致する場合、g = |f - Nfs| (Nは整数)という関係が成り立ちます。g < 0の場合も考えられますが、sin(2πft) = sin(2πgt) = -sin(2π|g|t)の関係から、正の周波数で表現できます。

ナイキスト周波数と標本化定理

元の信号の最高周波数成分がfs/2より小さい場合(fsはサンプリング周波数)、全ての周波数成分が条件を満たし、元の信号を完全に再現できます。これを「標本化定理」または「サンプリング定理」と言います。この条件を満たすための十分条件は、サンプリング周波数を信号の最高周波数の2倍以上にすることです。fs/2を「ナイキスト周波数」と呼びます。

現実には、ナイキスト周波数より高い周波数成分を完全に除去することは困難です。そのため、アンチエイリアシングフィルタを用いて高周波成分を減衰させ、標本化定理を近似的に満たすことで折り返し雑音を低減させます。

複素信号と折り返し

複素信号では、負の周波数の概念を用いることで、エイリアスの周波数をf - Nfsと表現できます。実数値信号の場合、|f - Nfs|のように絶対値を取ることで、常に正の周波数で表現できます。これは、正の周波数と負の周波数の正弦波が同じ波形になるためです。

fs/2を「折り返し周波数」とも呼びます。なぜなら、f > fs/2の周波数成分は、fs - fの周波数のエイリアスとして現れるため、fs/2を中心に左右対称なイメージ周波数が生成されるからです。

歴史的背景とその他

「エイリアス」という用語は、歴史的にはスーパーヘテロダイン方式の無線技術で使われていました。この方式では、目的の信号以外に、不要な信号が混入することがあります。この不要な信号を「エイリアス」と呼んでいました。

折り返し雑音は、音質、画像、方向探知など様々な分野に影響を与えます。アンテナアレイやマイクロフォンアレイを用いて信号の方向を見積もる際にも発生し、信号の波長よりも短い間隔で標本が得られないと方向が曖昧になります。

本稿では、折り返し雑音の基本的な概念とメカニズムを解説しました。より高度な理解のためには、フーリエ変換、信号処理、デジタル[[信号処理]]に関する専門書を参照することをお勧めします。

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