指標群

指標群とその性質

数学の分野において、指標群（character group）は群の構造を複素数値の関数を用いて表現する概念です。この群の要素は、行列のトレースによって導かれる関数であり、特に指標理論の文脈で重要な役割を果たします。具体的には、群が行列により表現される際に、行列のトレースによって定義される関数が指標と呼ばれます。

指標の定義と性質

アーベル群 G に対して、群の要素を 0 でない複素数へ写す関数 f が群準同型である場合、f は指標とみなされます。このとき、任意の g1, g2 ∈ G に対して、次の関係式が成り立ちます：

$$f(g_1 g_2) = f(g_1) f(g_2)$$

有限群の場合、各指標は特に 1 の冪根となります。これは、任意の g ∈ G に対して、ある k ∈ N が存在し、g の k 乗が単位元 e に返るためです。

加えて、指標は共役類に対して不変であるため、これらの関数は類関数とも呼ばれることが多いです。また、位数 n の有限アーベル群は正確に n 個の異なる指標を持ち、それぞれを f1, ..., fn と表記します。f1 は主指標（principal character）と呼ばれ、他の指標は非主指標（non-principal character）と定義されます。

指標群の性質と演算

G が位数 n のアーベル群であるとき、指標 f_k による集合はアーベル群を構成します。このアーベル群は指標群（character group）と呼ばれ、しばしば $ ext{G}^$ で表記されます。その位数は元の群 G と同じく n です。$ ext{G}^$ の単位元は主指標 f1 であり、指標 f_k の逆元はその逆数 1/fk です。このため、任意の g ∈ G に対して、その絶対値は常に 1 となります。これにより、逆元は複素共役に相当します。

直交性の性質

指標群の重要な性質のひとつに、指標間の直交性があります。これを確認するために、特定の n×n 行列 A を考えます。A の jk 成分は指標 f_j の g_k における値を表します。行列 A の j 行目および k 列目の成分の和は、次のようになります:

$$ ext{if } j
eq 1, ext{ then } rac{1}{n} imes ext{number of elements in } G = ext{sum}(A_{jk}) = 0$$
$$ ext{if } j = 1, ext{ then } ext{sum}(A_{jk}) = n$$

このように、行列 A の性質により、直交性の関係が成り立ちます。すなわち、指標間の内積は次のようになります：

$$ ext{sum}(f_k^(g_i)f_k(g_j)) = n imes ext{Kronecker delta }( ext{i,j})$$

ここで、f_k^(g_i) は f_k(g_i) の複素共役を表します。この直交性の性質は、群の持つ構造の深い性質を示しており、数学的な解析や応用においても重要な役割を果たします。

関連項目

指標群は、ポントリャーギン双対やフーリエ解析に関連する重要な概念です。興味がある方は、以下の文献を参照してください：

• - Apostol, Tom M. (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3.

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