ポントリャーギン双対

ポントリャーギン双対性とは

ポントリャーギン双対性とは、数学、特に調和解析および位相群の理論において、フーリエ変換の一般的な性質を説明する概念です。これは、実数直線や有限アーベル群上の関数に対するフーリエ解析を、より広範な枠組みで捉えることを可能にします。

例えば、以下のような現象を統一的に扱えます。

実数直線上の周期的な複素数値関数は、フーリエ級数展開によって表現され、その展開から元の関数を復元できます。
実数直線上の複素数値関数は、フーリエ変換によって別の関数に変換され、周期関数の場合と同様に、その変換から元の関数を復元できます。
有限アーベル群上の複素数値関数は、離散フーリエ変換によって双対群上の関数として表現され、この変換も元の関数を復元可能です。

この理論は、レフ・ポントリャーギンによって導入され、フォン・ノイマンやヴェイユが導入したハール測度の概念と密接に結びついています。これにより、局所コンパクトアーベル群の双対群に関する理論が発展しました。

ハール測度

位相群が局所コンパクト群となるのは、単位元がコンパクトな近傍を持つときです。この性質は、群の「大きさ」を測るための自然な測度であるハール測度が存在することを示唆します。ハール測度は、群のボレル集合（コンパクト部分集合から生成される完全加法族の要素）に対して定義され、その測度が群の作用に関して不変である（右不変性）という重要な特徴を持ちます。

具体的には、局所コンパクト群G上の右不変ハール測度μは、Gのボレル集合族上で定義される可算加法的測度で、任意の元xとボレル集合Aに対してμ(Ax) = μ(A)を満たします。群がコンパクトであれば、ハール測度は有限であり、また可換群の場合は右不変ハール測度は左不変でもあります。ハール測度を用いて、群上の可積分関数に対する積分概念を定義することができます。特に、Lp空間は以下のように定義されます。

math
L_{\mu }^{p}(G)=\left\{f\colon G\to \mathbb {C} \ {\bigg |}\ \int _{G}|f(x)|^{p}\,d\mu (x)<\infty \right\}


局所コンパクト可換群の例としては、以下のようなものがあります。

Rn（ベクトルの加法を群演算とする）
正の実数全体R+（乗法を群演算とする）
有限アーベル群（離散位相を入れたもの）
整数全体Z（加法群として、離散位相を入れたもの）
円周群T = U(1)（絶対値が1の複素数全体、乗法を群演算とする）
p進数体Qp（加法群として、p進位相を入れたもの）

双対群

局所コンパクト可換群Gの指標とは、円周群Tに値を持つG上の連続群準同型のことを指します。Gの指標全体の集合は、それ自身が局所コンパクト群を成し、これをGの双対群と呼びます。双対群の群演算は、指標の点ごとの積、逆元は複素共役、位相はコンパクト集合上一様収束位相によって与えられます。双対群は、元の群が可分であれば距離化可能です。

アーベル群Gの双対群はˆGで表されます。

定理

ˆGの双対群はGと自然同型です。つまり、(ˆG)^ = G と見なすことができます。ここで「自然な」という形容は、Gから(ˆG)^への写像が定義でき、その写像が函手的であることを意味します。この同型写像は、群の各元xを双対群上の指標と同一視することで与えられます。

例

整数群Zの指標は、生成元1の行き先によって決定されます。Zの代数的双対群は円周群Tと同型です。Zの双対群はTに自然同型です。
円周群Tの指標は、整数nによって z → zn の形に書けます。Tの双対群はZに自然同型です。
実数群Rの指標は、r → eiθr の形に書けます。Rの双対群はR自身と同型です。この場合の双対性は、R上の古典的なフーリエ変換と一致します。

フーリエ変換

局所コンパクト可換群の双対群は、フーリエ変換を定義する空間として導入されます。関数fがL1(G)に属する場合、フーリエ変換はˆG上の関数として以下のように定義されます。

math
{\hat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\,d\mu (x)


ここで、積分はG上のハール測度μに関するものです。同様に、ˆG上の可積分関数gの逆フーリエ変換は以下のように定義されます。

math
{\check {g}}(x)=\int _{\hat {G}}g(\chi )\chi (x)\,d
u (\chi )


ここで、積分は双対群ˆG上のハール測度νに関するものです。

群環

局所コンパクト可換群G上の可積分関数全体の成す関数空間は、畳み込みを積とする多元環を成します。関数fとgの畳み込みは、以下のように定義されます。

math
(fg)(x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\,d\mu (y)


L1(G)は、畳み込みによって可換バナッハ環を成し、これをGの群環と見なすことができます。フーリエ変換は畳み込みを通常の積に移し、群指標に対して、群環上の乗法的線型汎関数が一意的に対応付けられます。

プランシュレルの定理とフーリエ反転定理

双対群上のハール測度を適切に選ぶことで、フーリエ変換はL2空間間の等距離線型写像となり、ユニタリ作用素に拡張できます。プランシュレルの定理は、元の空間と双対空間における関数の積分が等しくなることを示します。フーリエ反転公式は、元の関数をフーリエ変換によって得られた関数から復元する方法を提供します。

ボーアコンパクト化と概周期性

局所コンパクト可換群Gがコンパクトとなるのは、その双対群ˆGが離散群となる場合であり、逆にGが離散群であるときはˆGがコンパクトです。任意の位相群Gに対して、ボーアコンパクト化が定義されます。ボーアコンパクト化は、Gの双対群ˆGの離散位相版に対して、さらに双対群を取ることで定義され、コンパクト群への写像を導きます。

圏論的考察

双対群の構成は、局所コンパクト可換群の圏LCAにおける反変函手です。反復函手 G → (G^)^ は共変であり、LCAからLCAopへの圏同値を提供します。この双対性は、離散群とコンパクト群の圏を入れ替えます。環Rに対するR-加群も、この双対性を通じて対応します。

非可換理論

可換群の場合と同様の非可換群に対する理論は存在しませんが、表現の同型類に関する概念として淡中クライン双対性などが存在します。非可換群に対する双対理論の類似物は、作用素環論の言葉で定式化されることもあります。この理論の出発点には、群環と双対群の関数環が同型であるという事実があります。

歴史

局所コンパクト群とその双対性に関する理論は、1934年のレフ・ポントリャーギンによって基礎が築かれ、その後イグベルト・ファン・カンペンやアンドレ・ヴェイユによって一般化されました。

一般化

ポントリャーギン-ファン・カンペン双対性は、様々な方向へ拡張されています。特に、可換位相群の直積や可算逆極限に対しても成立することが知られています。

参考文献

以下に、局所コンパクト群、双対性、フーリエ変換に関する参考文献を挙げます。

Jacques Dixmier, Les C-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars,1969.
Lynn H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co, 1953
Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962
Hans Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968 (2nd ed produced by Jan D. Stegeman, 2000).
* Hewitt and Ross, Abstract Harmonic Analysis, vol 1, 1963.

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