排中律

排中律：真理値の二分法と論理体系の基礎

排中律とは、論理学における基本原理の一つで、任意の命題Pについて「Pであるか、またはPでない」という命題が常に真であるとするものです。これは、第三の選択肢が存在せず、命題は真か偽のいずれか一方であることを意味します。

排中律の定義と歴史

ラテン語で「第三の命題が排除される原理」を意味する排中律は、古代ギリシャのアリストテレスによって既に論じられていました。アリストテレスは、曖昧さは言葉の使いかたに由来し、事象自体は曖昧ではないと主張しました。彼の論理体系において、排中律は重要な役割を果たしており、全ての命題が真か偽のいずれかの真理値を持つという二値原理と密接に関連しています。

その後、ライプニッツやラッセルといった哲学者・数学者たちも排中律について考察し、論理体系の構築に貢献しました。ラッセルは、『数学原理』において、排中律と矛盾律を明確に区別し、古典論理における三つの基本法則の一つとして位置付けています。

直観主義論理と排中律

排中律は、古典論理においては基本的な公理として受け入れられていますが、直観主義論理ではそうではありません。直観主義論理は、数学的対象の存在を構成的に証明することを重視する立場であり、単に存在を証明するだけでは不十分と考えます。

排中律は、無限集合に関する命題に対しては、その存在を構成的に示すことが困難であるため、直観主義論理では公理として採用されていません。例えば、ある数が有理数か無理数かのどちらかであるという主張は、古典論理では排中律によって正当化されますが、直観主義論理では、その数を構成的に示さなければ、その主張は受け入れられません。

排中律の応用：数学における証明

数学において、排中律は様々な証明に用いられています。有名な例として、√2^√2 が有理数か無理数かの証明があります。この証明では、√2^√2 が有理数であると仮定して矛盾を導き、その結果、√2^√2 は無理数であると結論付けます。この論証は、√2^√2 が有理数か無理数のいずれかであることを暗黙のうちに仮定しており、これは排中律に基づいています。

しかし、この証明は直観主義論理の立場からは非構成的であると批判されます。なぜなら、√2^√2 が無理数であることを示すために、√2^√2 自身の構成的な記述を提示していないからです。直観主義論理では、数学的対象の存在を構成的に示すことが求められるため、このような証明は受け入れられません。

排中律と無限

排中律が問題となるのは、特に無限集合に関する命題の場合です。古典論理では、無限集合全体を一つの対象として扱うことができるため、排中律を適用することが可能ですが、直観主義論理では、無限集合を全体として扱うことを許容しません。

ヒルベルトやブラウワーは、排中律を無限に適用することの矛盾点を指摘しました。例えば、「素数は有限個か無限個か」という命題に排中律を適用することは、無限集合の性質を完全に把握していることを前提としており、直観主義論理の立場からは問題があります。

排中律に関する誤解とパラドックス

排中律を誤って適用することで生じる誤謬として、「排中の誤謬」があります。これは、二つの選択肢しかないという誤った前提に基づいて論じることで、第三の選択肢の可能性を見落としてしまうものです。

また、排中律の推定的反例として、嘘つきのパラドックスやクワインのパラドックスが挙げられます。これらのパラドックスは、排中律を適用することによって生じる矛盾を示唆するものですが、それらのパラドックスへの対応方法は様々であり、排中律自体を否定するものではありません。

まとめ

排中律は、論理学において重要な役割を果たす基本原理ですが、その適用範囲や解釈は論理体系によって異なります。古典論理と直観主義論理の違い、そして無限集合に関する議論を通して、排中律の奥深さと、論理体系における多様な立場を理解することが重要です。排中律を正しく理解することで、論理的思考力を高め、より精密な議論を行うことができます。

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