擬距離空間

数学の一分野である距離空間論において、擬距離空間（ぎきょりくうかん、英語: pseudometric space）は、通常の距離空間の概念を拡張したものです。距離空間では、異なる二点間には必ず正の距離が存在しますが、擬距離空間では、異なる点同士でも距離がゼロになることが許容されます。これは、ある意味で「識別できない」点が存在しうる空間と考えることができます。

全てのノルム空間が距離空間であるのと同様に、全ての半ノルム空間は擬距離空間です。この関連性から、特に関数解析学の文脈では、「半距離空間」という語が擬距離空間の同義語として用いられることがあります。また、複数の擬距離によって位相が定められる空間はゲージ空間と呼ばれます。

定義

集合 `X` と、`X` 上で定義された非負の実数値関数 `d: X × X → [0, ∞)` の組 `(X, d)` が擬距離空間であるとは、関数 `d` （これを擬距離と呼びます）が `X` の任意の要素 `x`, `y`, `z` に対して以下の三つの条件を満たすことをいいます。

1. 自分自身との距離：`d(x, x) = 0` （任意の点から自分自身への距離はゼロである）
2. 対称性：`d(x, y) = d(y, x)` （点xからyへの距離と、yからxへの距離は等しい）
3. 三角不等式（劣加法性）：`d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)` （三角形の二辺の長さの和は他の一辺の長さ以上である）

通常の距離空間の定義には、これら三つの条件に加えて「`d(x, y) = 0` ならば `x = y`」という第四の条件（分離公理）が含まれます。擬距離空間は、この第四の条件を取り除いたものです。このため、擬距離空間では、`x` と `y` が異なる点（`x ≠ y`）であっても、`d(x, y) = 0` となることがあり得ます。これは、距離がゼロであることだけでは、二点が同一であると断定できないことを意味します。

例

擬距離は様々な数学の分野で自然に現れます。

関数空間：ある集合 `X` 上の実数値関数全体の空間 `F(X)` を考えます。`X` の中に一つの固定された点 `x₀` を選びます。このとき、二つの関数 `f`, `g` ∈ `F(X)` に対し、`d(f, g) = |f(x₀) - g(x₀)|` と定義すると、これは `F(X)` 上の擬距離になります。なぜなら、異なる関数 `f` と `g` であっても、点 `x₀` での値が等しければ（`f(x₀) = g(x₀)`）、それらの間の擬距離はゼロとなるからです。

半ノルムからの誘導：ベクトル空間 `V` 上の半ノルム `p` は、擬距離 `d` を `d(x, y) = p(x - y)` によって誘導します。逆に、ある種の性質（同次性と推移不変性）を持つ擬距離は、半ノルムを導くことが知られています。

双曲型複素多様体論：この分野で現れる小林距離なども擬距離の一種です。

位相

擬距離 `d` は、その空間 `X` に位相を誘導します。この位相は、点 `p` を中心とする半径 `r > 0` の開球 `Bᵣ(p) = {x ∈ X | d(p, x) < r}` の全体を開集合系の基底とすることで定義されます。このようにして誘導される位相を擬距離位相と呼びます。

ある位相空間が擬距離化可能であるとは、その空間に与えられた位相が、ある擬距離によって誘導される擬距離位相と一致する場合を指します。

擬距離と距離の最も根本的な違いは、位相的な性質にあります。擬距離空間が距離空間となるための必要十分条件は、その擬距離が誘導する位相が T₀分離公理を満たすことです。T₀分離公理とは、異なる任意の二点に対し、一方を含み他方を含まない開集合が存在するという性質です。距離空間では異なる点は常に位相的に識別可能ですが、擬距離空間ではそうとは限りません。

距離等化

擬距離空間 `(X, d)` から通常の距離空間を構成する標準的な方法として、距離等化（metric identification）があります。これは、距離がゼロである点を同一視するという考え方に基づいています。

集合 `X` の元 `x` と `y` に対し、`d(x, y) = 0` であるときに `x` と `y` が同値であると定めます（`x ∼ y`）。これが同値関係であることは容易に確かめられます（反射律、対称律、推移律を満たします）。

次に、この同値関係による商集合 `X = X / ∼` を考えます。`X` の要素は、`X` の元の同値類 `[x]` です。`X` 上に新しい関数 `d` を `d([x], [y]) = d(x, y)` と定義します。この定義は、同値類の代表元の選び方によらない（well-definedである）ことが示せます。

このように定義された `(X, d)` は、通常の意味での距離空間となります。なぜなら、`d([x], [y]) = 0` ならば `d(x, y) = 0` であり、これは `x ∼ y`、すなわち `[x] = [y]` を意味するからです。これで距離空間の第四の条件が満たされます。

この距離等化の操作は、元の空間 `(X, d)` が持つ位相構造を一定の形で保ちます。特に、自然な射影 `π: X → X`（`x` を `[x]` に対応させる写像）に対し、`A ⊂ X` が飽和集合（`π⁻¹(π(A)) = A` を満たす集合）である限り、`A` が `(X, d)` の開集合（または閉集合）であることと、その像 `π(A)` が `(X, d)` の開集合（または閉集合）であることは同値となります。

擬距離空間は、距離空間よりも広いクラスの空間を扱うための有用な概念であり、様々な数学分野で応用されています。その構造を理解することは、より一般的な空間の性質を探る上で重要です。

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