斜交行列

斜交行列に関する解説

斜交行列（しゃこうぎょうれつ、英: symplectic matrix）は、特定の2n×2nの行列Mで定義され、その要素は主に実数または複素数で構成されます。この行列は次の条件を満たす必要があります。

$$ tM oldsymbol{ ext{Ω}} M = oldsymbol{ ext{Ω}} $$

ここで、$tM$はMの転置を示し、$ oldsymbol{ ext{Ω}} $は特定の非特異な反対称行列を意味します。この行列$ oldsymbol{ ext{Ω}} $ は一般に区分行列（block matrix）として選択され、行列式が+1となります。また、逆行列は以下のように与えられます：

$$ oldsymbol{ ext{Ω}}^{-1} = -oldsymbol{ ext{Ω}} $$

特徴

すべての斜交行列は可逆であり、逆行列は特定の式で表現されます。さらに、2つの斜交行列の積もまた斜交行列となるため、斜交行列の集合は群の構造を持ちます。この群は自然に多様体の構造を取り込み、「斜交群」（シンプレクティック群とも呼ばれる）というリー群を形成します。この群の次元は$n(2n + 1)$となります。また、行列式は常に±1ですが、実際には斜交行列の行列式は常に+1であることが知られています。行列式の具体的な確認には、パフィアンの性質を用いることができます。具体的には、

$$ tM oldsymbol{ ext{Ω}} M = oldsymbol{ ext{Ω}} $$

かつ、$ ext{Pf}(oldsymbol{ ext{Ω}})
eq 0 $ であることから、

$$ ext{det}(M) = 1 $$

を導くことができます。

斜交行列の特徴的条件

行列Mが斜交行列となるための必要十分条件は、次のように示されます。特にn=1の場合、これらの条件は単純に行列式が1であることに帰着されます。すなわち、2×2の行列においては、その行列式が1であれば斜交行列と見なされます。

斜交変換

線形代数の公理的な視点から、行列は一般に有限次元のベクトル空間における線形変換に対応しています。ここで、斜交行列は斜交ベクトル空間における斜交変換に対応し、これにより非退化反対称二次形式$ oldsymbol{ ext{ω}} $ を保存する変換であることが求められます。

簡単に言えば、非退化反対称二次形式$ oldsymbol{ ext{ω}} $ を持つ2n次元ベクトル空間 V のもとで、線形変換L: V → Vが以下の条件を満たす場合、Lは斜交変換となります：

$$ oldsymbol{ ext{ω}}(L(oldsymbol{v_1}, L(oldsymbol{v_2})) = oldsymbol{ ext{ω}}(oldsymbol{v_1}, oldsymbol{v_2}) $$

ここで、$ oldsymbol{v_1} $ と $ oldsymbol{v_2} $ はV内の任意のベクトルです。基底を固定していると、$ oldsymbol{ ext{ω}} $ は行列$ oldsymbol{ ext{Ω}} $により、変換Lは行列Mにより表されます。従って、Lが斜交変換となるための条件は、Mが斜交行列であることです。

行列$ oldsymbol{ ext{Ω}} $

斜交行列は、固定された特異反対称行列$ oldsymbol{ ext{Ω}} $に基づいて定義されます。この行列は非退化反対称二次形式の座標表現とも捉えられます。特に、行列の選択や基底の変換によって、さまざまな形式での表現が可能です。一般的に、$ oldsymbol{ ext{Ω}} $ の代わりに記号 J を用いることもありますが、この選択は複素構造との混同を招くため注意が必要です。実際、複素構造Jは、二乗すると−1になる線形変換の表現であり、$ oldsymbol{ ext{Ω}} $は非退化反対称二次形式の表現であるため、両者は異なる構造を表します。

結論

斜交行列とその関連する概念は、数学及び物理学において重要な位置づけを持ちます。そのため、斜交群や斜交ベクトル空間といった関連項目も含めて、これらの知識を深めることで、より高度な理論的探求が可能です。単純な行列の性質から、抽象的な変換までの幅広い視野を持つことが、数学の学習において大変有意義です。

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