斜交群

斜交群の概要

数学において斜交群（しゃこうぐん、英: symplectic group）は、特に群論や線形代数において重要な役割を果たします。ここでは、主に二つの群、およびそれらの特性について詳しく説明します。それぞれの群は、Sp(2n, F) と Sp(n) として表記され、前者は体 F の上の 2n 次の斜交群を指し、後者は一般にコンパクト斜交群と呼ばれます。

Sp(2n, F)について

Sp(2n, F) は、成分が体 F に属する 2n × 2n の斜交行列からなる群です。この群は、行列の掛け算を演算とし、全ての斜交行列の行列式が 1 であることから、特殊線形群 SL(2n, F) の部分群として位置づけられます。

より具体的には、Sp(2n, F) は、F 上の 2n 次元ベクトル空間の線形変換であり、非退化の反対称双線形形式を保存する全ての線形変換の集合として定義されます。このようなベクトル空間を斜交ベクトル空間と呼びます。また、抽象的な斜交ベクトル空間 V に対する斜交群は Sp(V) と表記されます。

n = 1 の場合、行列の斜交条件は行列式が 1 であることと同等となるため、Sp(2, F) は SL(2, F) と一致します。一方、n が 2 以上になると、さらに条件が追加されます。通常、F は実数体 R または複素数体 C とされ、こうした場合の Sp(2n, F) は、次元が n(2n + 1) の実または複素リー群となります。これらの群は連結であるが、コンパクトではありません。Sp(2n, C) は単連結である一方で、Sp(2n, R) は Z に同型な基本群を持ちます。

Sp(2n, F) のリー環は、特定の条件を満たす 2n × 2n 行列の全体から構成されます。

Sp(n)について

一方、斜交群 Sp(n) は、可逆四元行列全体からなる群 GL(n, H) の部分群で、Hn 上の標準エルミート形式を保存します。したがって、Sp(n) は四元ユニタリ群 U(n, H) と見なすことができ、時には超ユニタリ群と呼ばれることもあります。特に Sp(1) は、単位長を持つ四元数全体の集合、つまり 3 次元超球面 S3 で構成されています。

なお、Sp(n) は前述の意味において斜交群ではない点に注意が必要です。これは、Hn 上の反対称形式を保存することがないためです。Sp(n) が「斜交」群とされる理由は、次のセクションで詳述します。

この群は実際には、n(2n + 1) 次元の実リー群であり、コンパクトであり、かつ連結で単連結です。Sp(n) のリー環は、特定の条件を満たす n × n の四元行列の集合で構成されています。この中で、A† は行列 A の随伴行列を示します。

斜交群間の関係

群 Sp(2n, R)、Sp(2n, C)、そして Sp(n) の間の関係は、主にそのリー環において顕著に現れます。これらの群を実リー群と見なした際、同一の複素化を持つことが知られています。カルタンによる単純リー環の分類において、このリー環は Cn と表記されます。また、複素リー環 Cn は、複素リー群 Sp(2n, C) のリー環 sp(2n, C) そのものであることも noted されます。このリー環は二つの異なる実形式を持ち、それぞれコンパクト形式 sp(n) および正規形式 sp(2n, R) に対するリー環です。

まとめ

斜交群は、数学の様々な分野において特異な位置を占めているため、深い理解を得ることが求められます。特に、群 Sp(2n, F) と Sp(n) の特性や関係は、群論や幾何学、力学など多くの数学的探究において重要な要素となっています。これにより、斜交群は数学的な構造を理解する上で欠かせない概念となっています。

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