方法 (アルキメデスの著書)

アルキメデスの『方法』について

アルキメデスによる著作『方法』（古代ギリシア語: Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος）は、現存する彼の主要な論文の一つです。この書は、彼が当時のアレクサンドリア図書館長であったエラトステネスに宛てた手紙という形式をとっています。数学史において特に注目されるのは、この著作が記録に残る中で初めて、現代の積分にも通じる「不可分」（あるいは無限小）の考え方を明確に利用している点です。長い間失われたと考えられていましたが、20世紀初頭、1906年に発見された『アルキメデス・パリンプセスト』の中から再発見されました。

機械的方法とは

『方法』の中心をなすのは、アルキメデスが「機械的方法」と呼んだ、図形の面積や体積を求めるための独創的な発見的手法です。これは、彼がすでに確立していたてこの原理や質量中心（重心）の概念を応用したものです。彼は図形を無限に薄いスライスに分割し、これらのスライスを仮想的なてこの上に配置することで、既知の図形との釣り合いを利用して未知の面積や体積を求めました。

ただし、アルキメデス自身は、この機械的方法を厳密な数学的証明として認めていませんでした。彼は、この方法で得られた結果を「発見」するために用い、その後に『球と円柱について』や『放物線の求積』といった他の著作の中で、より厳密な「取り尽くし法」などを用いて改めて証明を行いました。しかし、この発見的手法こそが、彼の画期的な成果を可能にした重要な手段であったと言えます。

放物線の面積計算

機械的方法の具体的な応用として最も分かりやすい例の一つが、放物線で囲まれた領域の面積を求める問題です。現代では積分を使って簡単に計算できるこの問題も、アルキメデスはてこの原理を使って解決しました。彼は放物線で囲まれた領域と、それとは別の簡単な図形（例えば三角形）を考え、これらの図形を無数の薄い線分（スライス）に分割しました。そして、これらのスライスを、ある一点（支点）を中心とするてこの上に配置し、両者が釣り合う条件を考えました。

具体的には、放物線のスライスを支点の片側に集め、面積が既知である三角形のスライスをもう片側に配置し、これらの重心や距離を考慮して釣り合いの式を立てます。これにより、放物線の面積が三角形の面積の何倍であるかを導き出すことができました。この巧妙な手法は、現代の区分求積法や積分のアイデアの萌芽と見なすこともできます。パリンプセストの最初の命題も、てこや重心の考え方、そして無限小の断面を用いた同様のアプローチで、放物線と割線で囲まれる領域の面積が特定の三角形の面積のちょうど三分の一であることを示しています。

球の体積計算

機械的方法は、より複雑な立体図形の体積計算にも応用されました。有名な例は、球の体積を求める方法です。アルキメデスは、球、円錐、そして円柱という三つの立体を比較しました。彼はこれらの立体を、ある軸に垂直な無数の円形の薄いスライスに分割します。そして、これらのスライスをてこの上に配置し、均衡がとれる条件を調べました。

具体的には、半径1の球の中心をx=1に置いた場合を考えます。この球の任意の断面（x座標における薄い円盤）の面積は特定の式で表されます。これに加えて、適切なサイズの円錐の断面も同じてこの上に配置します。すると、球と円錐の断面を合わせた重さが、てこの反対側に置かれた一定の面積を持つ円柱の断面と釣り合うように設定できます。この釣り合いの条件を積分に相当する形で全体にわたって適用することで、既知の円錐と円柱の体積から球の体積を導き出すことが可能となりました。この方法により、球の体積が半径rの三乗に比例する公式 (4/3)πr³ を導きました。アルキメデスはこの発見を自身の最大の業績と考え、自身の墓石に球と円柱が刻まれることを望んだと伝えられています。

球の表面積計算

球の体積を求める方法から発展して、球の表面積も機械的方法を用いて推測することができました。アルキメデスは、球の体積を、その表面上の各点から中心へ引いた線分を高さとする、無数の非常に小さな円錐の集合として捉えるという着想を得ました。これらの無限小の円錐の底面は球の表面を覆っており、その高さはすべて球の半径に等しいと考えられます。

したがって、球全体の体積は、底面の面積が球の表面積 S に等しく、高さが半径 r である単一の円錐の体積に等しいはずだと推測しました。円錐の体積は底面積 × 高さ × 1/3 ですから、Sr/3 となります。これが既知の球の体積 (4/3)πr³ に等しいとおくと、S = 4πr² という球の表面積の公式が得られます。これは「最大の円（球の断面で最も大きい円）の面積の4倍」に相当します。この結果は、後に『球と円柱について』で厳密な証明が与えられました。

有理数の体積を持つ曲線形状

『方法』における注目すべき成果の一つに、曲線的な境界を持つにもかかわらず、体積に円周率 π が含まれない特殊な立体図形を発見したことがあります。これは、幾何学的な交わりによって定義される体積の間に、非自明な有理数の比が存在することを示唆しており、ある種の曲線形状が定規とコンパスで「修正」（おそらく体積を表現する立方体を構成することなどを指す）できる可能性を示しています。

アルキメデスが扱った例としては、二つの直交する円柱の交差部分や、円柱の一部を平面で切り取ったような形状があります。これらの体積計算も、機械的方法を用いて行われました。例えば、二つの円柱の交差部分の場合、ある特定の方向（例えばy軸）に垂直にスライスすると、その断面が辺長が特定の式で表される正方形になることが分かります。これらの正方形の断面積を積分に相当する方法で合計することで、体積を求めることができました。これらの積分は、前述の放物線の面積の計算と同様に、機械的方法で容易に処理できる形をしています。

まとめ

アルキメデスの『方法』は、彼の数学的発見の過程を垣間見せてくれる貴重な著作です。ここで示された「機械的方法」は、厳密な証明には至らないものの、てこの原理や質量中心といった物理的な考え方を幾何学に応用することで、面積や体積に関する多くの画期的な定理を発見するための強力な道具となりました。特に、不可分（無限小）の概念を早い段階で操作的に用いている点は、後の積分の考え方の先駆けとして重要視されています。この著作の再発見は、古代ギリシア数学の深遠さ、とりわけアルキメデスの驚異的な洞察力と計算能力を改めて明らかにし、現代数学への理解を深める上で計り知れない価値を持っています。

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