族 (数学)

数学における「族（family）」とは、添え字（index）によって識別される要素の集まりであり、対、n-組、列などの概念を一般化したものです。集合論における「系（collection）」とも呼ばれます。

族の定義

集合 I から集合 X への写像 A: I → X が与えられたとき、この写像によって得られる X の要素の集まりを、「I を添え字集合とする X の要素の族」と定義します。ここで、I の要素を i, j, ... と表すとき、A(i), A(j), ... は Ai, Aj, ... と表記されることが一般的です。

この族は、以下のような様々な記法で表されます。

(Ai | i ∈ I)
(Ai)i∈I
{Ai | i ∈ I}
{Ai}i∈I

これらの記法は添え字記法と呼ばれることもあります。

列（sequence）

添え字集合として、高々可算な集合、特に正の整数全体の集合Nを用いる場合、その要素の族は「列（sequence）」または「点列（sequence of points）」と呼ばれます。可算無限点列 (xi)i∈N は、添え字の可算性を明示するために、以下のように記述されることもあります。

(x1, x2, ...)
(xi)i=1,2,...

特に、添え字集合が有限順序数 {1, 2, ..., n} となる列は、「有限列（finite sequence）」または「n-組（n-tuple）」と呼ばれ、以下のように表記されます。

(x1, x2, ..., xn)
(xi)i=1,2,...,n
(xi)i=1n

可算無限列は、記号を流用して (xn)n=1∞ と表すこともあります。

要素の重複と添え字の区別

二つの族が等しいとは、それらが写像として等しいことを意味します。したがって、値としては同じ要素であっても、対応する添え字が異なれば、それらは別の要素として区別されます。例えば、集合{12, 57}では、{12, 57} = {12, 57, 57} となりますが、族としては (12, 57) ≠ (12, 57, 57) となります。

要素の順序を明確にするために、族を要素に添え字を付与した集合として表現することもあります。例えば、{12(1), 57(2), 57(3)} のように表記することで、要素とその添え字を区別します。この場合、要素の添え字を変えない限り、要素の並べ替えは自由に行えますが、添え字の付け替えは異なる族を意味します。例えば、{12(1), 57(2), 57(3)} ≠ {12(2), 57(1), 57(3)} となります。

多重集合（multiset）

要素の重複度を考慮した集合の概念を「多重集合（multiset）」と呼びます。多重集合では、要素の出現回数が重要になります。族と多重集合は似た概念ですが、族では添え字によって要素が識別されるのに対し、多重集合では要素の出現回数のみが問題となります。

まとめ

「族」は、添え字によって区別される要素の集まりであり、集合、列、関数など、様々な数学的概念を一般化したものです。添え字の区別や要素の重複が意味を持つ点が特徴であり、多重集合の概念とも関連しています。

関連用語
配列
連想配列
配置集合
添え字記法
有向点族

参考文献
日本数学会 「岩波数学辞典」岩波書店、1985年
齋藤正彦　「数学の基礎」東京大学出版会、2002年
* R・J・ウィルソン　「グラフ理論入門　原著第4版」西関隆夫・西関裕子訳、近代科学社、2001年

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