多重集合

多重集合とは

数学における多重集合（multiset）とは、集合の概念を拡張したもので、要素の重複度を考慮に入れるものです。通常の集合では、要素の出現回数は1回とみなされますが、多重集合では、各要素が何回出現するか（重複度）が重要になります。

多重集合の表記

多重集合を表現する際には、通常の集合のように波括弧 { } で囲む代わりに、二重波括弧 {{ }} や角括弧 [ ]、中抜き波括弧 ⦃ ⦄ などが使われることがあります。

例：

通常の集合: {a, b}
多重集合: ⦃a, a, b⦄ または [a, a, b] または {{a, a, b}}

集合、多重集合、順序対の違い

多重集合と通常の集合、順序対との違いを明確にするために、具体例を見てみましょう。要素aとbが異なる場合を考えます。

順序対: (a, a, b) と (a, b, a) は異なるものとして扱います。要素の順序が重要な要素となります。
多重集合: ⦃a, a, b⦄ と ⦃a, b, a⦄ は同じものとして扱います。要素の順序は関係ありませんが、重複度（この場合はaが2回出現する）が異なります。⦃a, a, b⦄ と ⦃a, b⦄ は別のものと扱います。
集合: {a, a, b}、{a, b, a}、{a, b} はいずれも同じものと扱います。要素の順序や重複は区別されません。

多重集合の導入例

多重集合は、数学の様々な場面で自然に現れます。以下にいくつかの例を挙げます。

二次方程式の根

二次方程式 x² + ax + b = 0 の根を考える際、判別式 Δ = a² - 4b が0の場合、根は重根となり、重複度2を持ちます。多重集合を用いることで、Δ = 0 の場合でも根の個数を常に2個として扱うことができます。

素因数分解

自然数 n の素因数分解は、例えば 12 = 2² × 3 のように、素数の積として表されます。このとき、各素数の指数は重複度を表しており、自然数 n は素数を要素とする多重集合とみなすことができます。

自然数の分割

自然数 n の分割（例：5 = 2 + 2 + 1）を考える際、分割に現れる各整数の個数を重複度とすれば、これも多重集合として捉えることができます。

多重集合の歴史

多重集合の概念自体は古くからありましたが、明確に定義され研究されるようになったのは20世紀に入ってからです。

古代: Wayne Blizardによれば、数はしばしば棒や画線で表現され、これは多重集合の原点とみなせます。
1150年頃: インドの数学者バースカラ2世が多重集合の順列について研究しました。
1675年: ジャン・プルステが多重集合の順列に関する一般法則を著しました。
20世紀: リヒャルト・デーデキントが多重集合を明確な形で使用し、その後数学者が多重集合を定式化し研究しました。

多重集合の定義

全体集合 X の部分集合 A と、X から非負整数全体の集合 N への写像 m: X → N の組 (A, m) を、A を台集合とする多重集合と定義します。m(a) は要素 a の重複度を表します。

例：

多重集合 ⦃a, a, b⦄ は、台集合 {a, b} と、重複度関数 m(a) = 2, m(b) = 1 の組 ({a, b}, {(a, 2), (b, 1)}) として表すことができます。

多重集合の演算

多重集合の間には、和、差、積、対称差などの演算が定義できます。

部分多重集合: 多重集合 (B, mB) が (A, mA) の部分多重集合であるとは、B の各要素 b の重複度が mA(b) 以下であることです。
和: 多重集合の和 A ∪ B は、各要素の重複度を最大値とします。
積: 多重集合の積 A ∩ B は、各要素の重複度を最小値とします。
対称差: 多重集合の対称差 A △ B は、各要素の重複度の差の絶対値とします。
結合(直和): 多重集合の結合 A ⊔ B は、各要素の重複度を足し合わせたものとします。

多重集合の数え上げ

濃度 n の集合から要素を選んで作られる濃度 k の多重集合の総数は、多重集合係数と呼ばれ、次のように表されます。

((nk)) = (n+k-1 choose k) = (n+k-1)! / (k! (n-1)!)

多重集合の多項式表現

多重集合は、多項式を用いて表現することができます。例えば、集合 {x} は単項式 x で表され、多重集合 {x, x} は単項式 x² で表されます。この表現を用いることで、多重集合の組み合わせ論的な性質を代数的に扱うことができます。

累積母関数

多重集合の累積母関数を用いることで、多重集合の様々な性質を解析することができます。実数からなる有限多重集合の累積母関数は、次のように定義されます。

gA(t) = log(∑i e^(tAi))

累積母関数を用いることで、多重集合の平均値や分散、標準偏差などを求めることができます。

多重集合の応用

多重集合は、数学だけでなく、計算機科学やデータベースなど、様々な分野で応用されています。

組合せ論: 多重集合は、組合せ論における主要な構造であり、現代組合せ論は多重集合に対する理論として発展しています。
データベース: 多重集合は、データベースシステムにおいて重要な関係として用いられます。
計算機科学: 多重集合は、計算機科学において重要な役割を果たしています。

多重集合の一般化

多重集合は、重複度関数の値域を拡張することで、さらに一般化することができます。

ファジィ多重集合: 重複度関数が[0, 1]の値をとるような多重集合をファジィ多重集合と呼びます。
* 実数値多重集合: 重複度関数が実数値をとるような多重集合も定義することができます。

まとめ

多重集合は、集合の概念を拡張した重要な概念であり、要素の重複度を考慮に入れることで、より柔軟な表現が可能になります。数学、計算機科学、データベースなど、様々な分野で応用され、現代数学の基礎をなす重要な概念です。

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