曲線の特異点

幾何学の世界では、曲線がその特定の地点で「滑らかさ」という性質を持たない場合があります。このような点を「特異点」（singular point）と呼びます。

より厳密に言うと、通常、曲線はパラメーターを用いた滑らかな写像（例えば、`g(t) = (x(t), y(t))` のように、実数 `t` から平面への連続的に微分可能な関数による表現）によって定義されますが、特異点とは、曲線上にあってもこのような滑らかな表現が局所的に成り立たないような点のことです。特異点の正確な定義は、対象とする曲線の種類によって異なります。

平面代数曲線の特異点

平面上の代数曲線は、二変数多項式 `f(x, y) = 0` を満たす点 `(x, y)` の集合として定義できます。

ある点 `(x₀, y₀)` がこの曲線上の点であるとき、その点が特異点であるかどうかは、関数 `f` の点 `(x₀, y₀)` における偏微分を用いて判定されます。

もし、`f` を `x` と `y` でそれぞれ偏微分したものが、点 `(x₀, y₀)` において両方ともゼロになるならば、その点 `(x₀, y₀)` は曲線の特異点です。

$$ f(x₀, y₀) = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial x}(x₀, y₀) = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x₀, y₀) = 0 $$

逆に、偏微分の少なくとも一方がゼロでない場合、その点（曲線上の点である限り）は「非特異点」、あるいは「正則点」（regular point）と呼ばれます。正則点の近傍では、陰関数定理によって曲線を滑らかな関数 `y = h(x)` または `x = k(y)` の形で表すことができます。

局所的な振る舞いを調べるために、注目する特異点を座標変換によって原点 `(0, 0)` に移して解析することがよく行われます。原点が曲線上にある場合、多項式 `f(x, y)` の定数項はゼロです。そして、線形項（`x` または `y` の一次の項）の係数が偏微分の値に相当します。

もし線形項が存在しない（偏微分が両方ゼロ）が、二次の項（`x²`, `xy`, `y²`）の少なくとも一つがゼロでない場合、原点は「二重点」（double point）と呼ばれます。

二重点の分類

二重点の性質は、二次の項のみからなる多項式 `c₀x² + 2c₁xy + c₂y²` の振る舞いによって分類されます。これは原点における曲線の「接錐」（tangent cone）に関連します。

二重点は、その点で曲線がどのように自己交差したり、分離したり、尖ったりするかによって、さらに詳しく分類されます。

結節点（Crunode）: 原点において曲線が自身と交差する点です。二次の項が異なる2つの実接線を持つ場合（例えば `x² - y² = 0` の原点）、これは結節点となります。曲線はこの点で鞍点のような振る舞いをします。

孤立点（Acnode）: 実平面上では、原点が曲線の他の部分から完全に離れて孤立しているように見える点です。二次の項が実数の範囲で接線を持たない場合（例えば `x² + y² = 0` の原点）、これは孤立点となります。しかし、複素数の範囲で考えると2つの虚接線を持ちます。関数 `f` はこの点で極値のような振る舞いをします。

尖点（Cusp）: 原点において曲線が鋭角的に向きを変える点です。二次の項が一致する2つの接線を持つ場合（例えば `y² - x³ = 0` の原点）、これは尖点となります。曲線は滑らかさが失われ、尖った形状になります。

二重点でない特異点（偏微分がすべてゼロで、二次の項もすべてゼロだが、より高次の項が存在する場合）は「多重点」（multiple point, 位数 `k` の多重点）と呼ばれ、一般にその点において曲線は `k` 個の接線（実数または複素数）を持つと考えられます。

媒介表示曲線の特異点

平面内の媒介変数表示された曲線は、`g(t) = (g₁(t), g₂(t))` というベクトル値関数で定義されます。

媒介表示曲線における特異点は、その点において導関数ベクトル `g'(t) = (dg₁(t)/dt, dg₂(t)/dt)` がゼロになるような `t` の値に対応する点として定義されます。

$$ \frac{dg₁}{dt} = 0, \quad \frac{dg₂}{dt} = 0 $$

代数曲線と媒介表示曲線では、特異点の定義が異なるため、同じ幾何学的形状を持つ曲線であっても、表現方法によってある点が特異点であるかどうかの扱いに違いが生じることがあります。例えば、代数曲線としては結節点である点が、パラメータ化の仕方によっては導関数がゼロにならないため、媒介表示曲線の定義における特異点とは見なされないことがあります。これは「曲線の（幾何学的な）特異点」と「パラメータ化の（写像としての）特異点」を区別する必要があることを示しています。

特異点の例

以下に、いくつかの代表的な特異点を持つ曲線の例を挙げます。

孤立点: `x² + y² = 0` の原点。
結節点（自己交差）: `x² - y² = 0` (交わる二直線) や `y² - x³ - x² = 0` の原点。
尖点: `y² - x³ = 0` (セミキュービカルパラボラ) の原点。
Tacnode (接触点): `y² - x⁴ = 0` の原点。
嘴点 (Rhamphoid cusp): `y² - x⁵ = 0` の原点。

特異点の研究は、代数幾何学、微分幾何学、特異点論など、様々な分野で重要な位置を占めています。

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