最大値最小値定理

最大値・最小値の定理

「最大値・最小値の定理」は、初等解析学における基礎的な定理であり、「極値定理」や「ヴァイエルシュトラスの定理」とも呼ばれます。この定理は、ある特定の条件を満たす実数値関数が、その定義域内で必ず最大値と最小値に到達することを保証します。

具体的には、実数直線上の有界閉区間 $[a, b]$ 上で定義された関数 $f$ が連続であるならば、$f$ は区間 $[a, b]$ の中で最も大きな値と最も小さな値を必ず取ります。つまり、区間 $[a, b]$ の中に適当な点 $c$ と $d$ が存在して、区間内の全ての点 $x$ に対して、$f(c) \ge f(x) \ge f(d)$ という関係が成り立ちます。ここで $f(c)$ が区間 $[a, b]$ における $f$ の最大値であり、$f(d)$ が最小値です。

この定理は、「有界性定理」と密接に関連しています。有界性定理は、有界閉区間上で連続な関数はその区間上で値が限定されている（有界である）ことを示します。最大値・最小値の定理は、単に関数の値が有界であるだけでなく、その上限（最小上界）を最大値として、そして下限（最大下界）を最小値として、それぞれ定義域内の特定の点において実現されることを主張する、より強い結論を含んでいます。

歴史

この定理の発見は、19世紀の数学者たちにさかのぼります。ベルナルド・ボルツァーノは1830年代にこの定理の証明を得ていましたが、その内容はすぐには公表されませんでした。その後、1860年頃にカール・ヴァイエルシュトラスが独立にこの定理を再発見し、彼の名前でも広く知られるようになりました。ボルツァーノの仕事は、連続関数の有界性を示すことから始めており、これはボルツァーシュ・ヴァイエルシュトラスの定理とも関連しています。

条件の重要性

最大値・最小値の定理が成り立つためには、関数の「連続性」と定義域の「有界かつ閉じている」という条件が非常に重要です。これらの条件のいずれかが欠けると、定理は成り立たなくなります。例えば、関数 $f(x)=x$ を $[0, \infty)$ のように有界でない区間で考えると最大値は存在しません。また、関数 $f(x)=1-x$ を $(0, 1]$ のように閉じていない区間で考えると、上限は1ですが最大値は存在しません。さらに、有界閉区間 $[0, 1]$ 上で定義された不連続な関数（例えば、$x=0.5$ で値が飛ぶような関数）は、最大値や最小値を持たない場合があります。これらの例は、定理の条件が不可欠であることを示しています。

証明の考え方

最大値・最小値の定理の基本的な証明は、実数の持つ重要な性質である「完備性」と「ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理」を利用して行われます。まず、有界閉区間上の連続関数が上に有界であることを証明します（有界性定理）。これは背理法を用い、もし上に有界でないと仮定すると、ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理から得られる収束部分列と関数の連続性によって矛盾が生じることを示します。

関数が上に有界であることが示されれば、実数の完備性により、その値の集合には必ず最小上界（上限）$M$ が存在します。次に、この上限 $M$ が実際に区間内のどこかの点 $c$ で関数の値として達成される（$f(c)=M$ となる）ことを証明します。これもボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理と関数の連続性を組み合わせることで可能です。具体的には、上限の性質から、$M$ にいくらでも近づく関数値を取るような点列を構成し、その点列から収束する部分列を選び出します。区間が閉じていることから、この部分列の極限点も区間に含まれます。関数の連続性により、この極限点における関数の値がちょうど上限 $M$ に等しくなることを導くのです。最小値の存在も、同様の議論を関数 $-f$ に対して行うことで証明できます。

応用と一般化

最大値・最小値の定理は、解析学の他の多くの定理の証明に利用されます。特に有名なのは「ロルの定理」です。ロルの定理は、微分可能な関数が二つの点で同じ値を取るならば、その間に微分係数がゼロになる点が少なくとも一つ存在することを保証するもので、これは平均値の定理の基礎ともなります。

また、この定理はより一般的な数学的な設定においても拡張されます。例えば、位相空間論においては、「コンパクト空間から実数への連続写像は、その像が有界閉集合となり、したがって最大値と最小値をとる」という形で一般化されます。さらに、関数の条件を連続性から「半連続性」に弱めた場合でも、同様の結果が得られます。具体的には、上半連続関数は上に有界で上限を達成し、下半連続関数は下に有界で下限を達成することが知られています。通常の連続関数は上半連続かつ下半連続であるため、この拡張された定理から元の最大値・最小値の定理が導かれます。

このように、最大値・最小値の定理は、連続関数が有界閉集合上で持つ基本的な性質を明らかにし、様々な数学分野の基盤となっています。

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