最高平均方式

最高平均方式（Highest Averages Method）

最高平均方式とは、比例配分方式の一つであり、主に名簿式投票制度において、議席を各政党に得票数に応じて分配するために用いられます。また、選挙区への定数配分にも応用されます。

除数方式（Divisor Method）は、計算方法は異なりますが、最高平均方式と同一の結果をもたらします。除数方式は、主に地域への議席配分という文脈で使用されることが多いです。

最大剰余方式（Largest Remainder Method）と対比されることがあります。

配分方法

議席を各政党へ得票数に応じて分配するケースを想定します。都道府県などへの議席配分を考える場合は、政党を都道府県、得票数を人口と置き換えることで応用できます。

各政党には、1からsまでの番号が振られており、政党iの得票数をpiとします。

丸め関数r(n)を1つ固定します。丸め関数が異なると配分結果も変化します。
丸め関数は、以下の性質を満たすように選択されます。

r(0) < r(1) < r(2) < ...
すべてのnに対して、n ≤ r(n) ≤ n + 1
r(n) = n + 1となるようなnがある場合、すべての正の整数nに対してr(n) > n

r(n)の選び方によって、以下の特別な名称が付けられることがあります。

アダムズ方式：r(n) = n
サン＝ラグ方式、ウェブスター方式：r(n) = n + 0.5
ドント方式、ジェファーソン方式：r(n) = n + 1
ヒル方式：r(n) = √(n(n+1))
ディーン方式：r(n) = 2n(n+1) / (2n+1)

各政党への議席配分h1, ..., hsは、以下の条件を満たすように決定されます。

h1 + ... + hs = h
max(i∈S+) {r(hi-1) / pi} ≤ min(i∈S) {r(hi) / pi} (S = {1, ..., s}, S+ = {i∈S : hi ≥ 1})

得票数が完全に一致する政党が存在するなど、ごく稀なケースを除き、議席配分は一意に定まります。

2番目の条件式は、「丸め関数r(n)によって補正した投票者1人あたりの獲得議席」が平等になるように議席を配分するという意味で、配分の比例性を表しています。

例えば、r(n) = nの場合、r(hi) / pi = hi / piは各政党における投票者1人あたりの獲得議席そのものであり、仮にいずれかの政党の獲得議席が1つ減ったとすると、その政党への投票者1人あたりの獲得議席は、実際の選挙結果において投票者1人あたりの獲得議席が最小である政党よりもさらに小さくなることを意味します。

最高平均方式、除数方式は、h1, ..., hsを具体的に計算する手順につけられた名称です。

最高平均方式

1議席ずつ、どの政党に議席を与えるかを決定します。政党iの獲得議席をhiとし、これを反復計算によって更新していきます。

最初はどの政党も議席を得ていないため、h1 = h2 = ... = hs = 0とします。

各政党iについて、pi / r(hi)の値を計算し（関数の選び方によっては分母が0となる場合がありますが、この場合は計算結果を無限大として扱います）、値が最も大きい政党jに次の1議席を与えます。すなわち、hjの値に1を加えます。

上記の操作をh回繰り返します。最終的なhiの値が、政党iの獲得議席となります。

除数方式

最高平均方式とは異なり、一度にすべての配分を計算します。

実数xに対して、集合[x]を以下のように定義します。

x < r(⌊x⌋)のとき、[x] = {⌊x⌋}
x > r(⌊x⌋)のとき、[x] = {⌈x⌉}
x = r(⌊x⌋)のとき、[x] = {⌊x⌋, ⌈x⌉}

上記の記法を用いて、以下の手順で議席を計算します。

1. ある数Dを固定します。
2. 政党iの獲得議席をhi ∈ [pi / D]となるように定めます。
3. h1 + ... + hs = hとなるように獲得議席を定めることができない場合、Dの値を調整します。

Dを除数と呼びます。

性質

最大剰余方式で見られた、配分パラドックスの問題は発生しません。

一方で、純粋な取り分から乖離した配分を受ける政党が生じる可能性があります。
h議席を比例配分する際、総投票数p中のpi票を獲得した政党iの純粋な「取り分」は(pi / p) h議席となるため、実際の配分議席数はこの端数の切り上げか切り捨てによって得られる数が望ましいと考えられます。しかし、サン＝ラグ方式の配分の例では、A党への配分が純粋な「取り分」よりも過小になっています。

各方式の種類

最高平均方式と除数方式で名称が異なるものは、「最高平均方式での名称 = 除数方式での名称」として表示します。
名称が一つしか表示されていないものは全て除数方式です。

これらの名称が一つしかない制度ではゼロ割当が発生しないため、支持票数と同数の名簿を提出してそれぞれの名簿に1票ずつ票を割り振ることで、その支持票を持つ政党は支持票数と同数の議席を得られます。
そのため、複数の支持票を一つの名簿に纏める政党はほぼ現れず、有権者数とほぼ同数の名簿が選挙管理委員会に提出され、選挙が破綻します。
従って、これらのゼロ割当の生じない方式は、比例代表選挙の文脈で用いられることがなく、最高平均方式としての名称を持ちません。

ドント方式 = ジェファーソン方式(切り捨て方式、最大除数方式)：r(n) = n + 1。得票の多い政党や人口の多い県に有利です。
アダムズ方式(切り上げ方式、最小除数方式)：r(n) = n。人口の少ない選挙区や泡沫政党に有利な方式です。
サン＝ラグ方式 = ウェブスター方式(四捨五入方式、奇数方式、過半少数方式)：r(n) = n + 1/2。偏りが比較的小さい配分方式として知られています。
ハンチトン方式=ヒル方式(幾何平均方式、均等比例方式)：r(n) = √(n(n+1))。アメリカ下院の議席配分に用いられています。
ディーン方式(調和平均方式)：r(n) = 2n(n+1) / (2n+1)。やや人口の小さい県に有利な配分を与えるとされています。

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