計算格子

計算格子とは

計算格子（computational mesh/grid）とは、数値解析において、解析対象となる領域（2次元または3次元の形状）を、有限個の小さな部分領域に分割したものです。この分割された部分領域は、構造解析の分野では「要素」とも呼ばれます。

計算領域を格子に分割する作業は「格子生成（mesh generation）」または「格子分割」と呼ばれます。各格子は番号で識別され、その形状は「節点（nodes）」の座標値によって定義されます。また、各節点には、要素内での節点の番号である「要素節点番号」が付与されます。

格子の分類と生成法

計算格子は、その構造や生成方法によって、大きく「構造格子」と「非構造格子」に分類されます。

構造格子

構造格子は、格子が規則的な配列を持ち、格子点の位置が明確に定義されている格子です。特に、格子数が座標軸の各方向に変化せず、領域を直方体状に分割する格子は、特に「構造格子」と呼ばれます。

構造格子の生成には、以下のような方法があります。

マップドメッシュ:
偏微分方程式を用いる方法: 偏微分方程式を解くことで格子を生成します。さらに、楕円型、双曲型、放物型に分類されます。
代数方程式を解いて生成する方法
境界適合格子: 格子の配置（トポロジー）によって、O型、C型、H型、L型などに分類されます。

非構造格子

非構造格子は、格子点の位置が不規則で、柔軟な形状に対応できる格子です。複雑な形状の領域を分割するのに適しており、以下のような生成法があります。

デローニ分割
四分木、八分木、kd木
アドバンシングフロント法

構造解析分野における格子の分類

構造解析においては、構造物のモデル化手法によって、格子（要素）は以下の種類に使い分けられます。

線要素:
トラス構造やラーメン構造のような骨組み構造に使用されます。要素の特性として、材料の物性値の他に、断面積、断面2次モーメント、断面係数などが含まれます。
面要素:
「シェル要素（shell element）」とも呼ばれます。板厚の10倍以上の広がりがある、または板厚の5倍以上の曲げ半径を持つ構造物は板とみなされ、面要素が使用されます。要素特性として、材料の物性値に加えて厚さの情報が必要です。
体要素:
「ソリッド要素（solid element）」とも呼ばれます。3次元形状（四面体や六面体）を持つ要素です。要素特性には、材料の物性値のみが必要です。

有限要素法における格子の分類

有限要素法では、要素の頂点にのみ節点を持つ「1次要素」と、要素の辺の中点にも節点を持つ「2次要素」に分類され、要素内での補間方法が異なります。

2次元要素の例

三角形1次要素:
3つの節点を持つ2次元要素です。要素内の点(x, y)の値δは、節点の値δ1, δ2, δ3から、以下の式で求められます。


δ = (1/(2Δ)) [{(x2y3-x3y2) + (y2-y3)x + (x3-x2)y}δ1 + {(x3y1-x1y3) + (y3-y1)x + (x1-x3)y}δ2 + {(x1y2-x2y1) + (y1-y2)x + (x2-x1)y}δ3]


ここで、Δは三角形の面積を表し、以下の式で計算されます。


Δ = (1/2) | 1 x1 y1 |
| 1 x2 y2 |
| 1 x3 y3 |


四角形1次要素:
4つの節点を持つ2次元の四角形要素です。ξ-η平面上の正方形に変換して考察されます。要素内の座標(ξ, η)の点の値δは、以下の式で求められます。


δ = ((1+ξ)(1+η)/4)δ1 + ((1-ξ)(1+η)/4)δ2 + ((1-ξ)(1-η)/4)δ3 + ((1+ξ)(1-η)/4)δ4


座標変換の式と要素内の値を求める式が同じように表される要素は、アイソパラメトリック要素と呼ばれます。
三角形2次要素:
三角形の頂点と各辺の中点に節点を持つアイソパラメトリック要素です。曲線形状に対応できるため、1次要素よりも高精度な計算が可能です。要素内の座標(ξ, η)の値δは、以下の式で表されます。


δ = (ξ+η)(ξ+η-1)/2 δ1 + ξ(ξ-1)/2 δ2 + η(η-1)/2 δ3
+ (1-ξ)(ξ+η) δ4 + (1-ξ)(1-η) δ5 + (1-η)(ξ+η) δ6


四角形2次要素:
四角形の頂点と各辺の中点に節点を持つアイソパラメトリック要素です。要素内の座標(ξ, η)の値δは、以下の式で表されます。

δ = (1+ξ)(1+η)(ξ+η-1)/4 δ1 + (1-ξ)(1+η)(-ξ+η-1)/4 δ2
+ (1-ξ)(1-η)(-ξ-η-1)/4 δ3 + (1+ξ)(1-η)(ξ-η-1)/4 δ4
+ (1-ξ^2)(1+η)/2 δ5 + (1-ξ)(1-η^2)/2 δ6
+ (1-ξ^2)(1-η)/2 δ7 + (1+ξ)(1-η^2)/2 δ8

3次元要素

3次元要素には、四面体、五面体（プリズムおよびピラミッドに分類）、六面体があり、それぞれに1次要素と2次要素が存在します。

良い格子分布の条件

計算格子には、以下の様な性質が求められます。

数値計算の結果の信頼性が高いこと
数値計算が安定して行われること
格子の無駄が少ないこと

これらの性質を満たすために、以下の点に留意する必要があります。

直交性:
格子に流入する流束は、格子に垂直な面で評価されるため、流束ベクトルと直交しない格子面は、誤差の増加を引き起こす可能性があります。格子と流れの方向の関係は「アライメント」と呼ばれます。
隣接する格子間隔の比:
隣り合う格子の大きさの比は、できるだけ1に近いことが望ましいです。例えば、2階微分を差分で計算する場合、隣り合う格子の幅が異なると、精度が低下することがあります。一般に、格子間隔の比は1.5程度以下に抑えることが望ましいとされています。

例として、3つの格子点を用いて2階微分を計算する場合、隣り合う格子の幅Δxが等しくない場合、2次精度が維持できなくなることを示す式は以下の通りです。


d²f/dx² = 2/(Δxⱼ + Δxⱼ₊₁) [(fⱼ₊₁ - fⱼ)/Δxⱼ₊₁ - (fⱼ - fⱼ₋₁)/Δxⱼ] + 1/3 (Δxⱼ₊₁ - Δxⱼ) fₓₓₓ + ...

境界層:
流体解析の場合、物体近傍には境界層が形成されます。層流境界層では、境界層の厚さδ（δ ≈ 5.0 / √Re）の1/50以下に最小格子幅を設定する必要があります。乱流境界層の場合は、乱流モデルに応じて適切な格子幅を設定する必要があります。無次元の壁面からの距離 y+ を用いた目安が利用されることがあります。

参考文献

[参考文献のリスト]

関連項目

スタッガード格子
メッシュフリー法
* 解適合格子法

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