有限可換群上の調和解析

有限可換群上の調和解析

有限可換群上の調和解析とは、有限な可換群に基づいて行う調和解析のことを指します。これは一般に、フーリエ変換や畳み込みなどの概念を通じて構築され、包括的な理論が形成されています。この理論は、プランシュレルの定理やパーセバルの等式、ポントリャーギン双対といった多くの重要な定理の枠組みの中で展開されます。特に、有限可換群の場合にはその理論が非常にシンプルになるため、様々な応用が可能です。具体的には、フーリエ変換が有限和として定義され、双対群が元の群と同型になることが特徴です。

背景

ここで、群 $G$ は位数 $g$ の可換群、$C$ は複素数体、$z$ は複素共役を表します。この背景のもとで、群 $G$ 上の複素数関数からなる集合 $C_G$ が形成されます。集合 $C_G$ は、各点での和やスカラー倍に基づいて$g$次元の複素線型空間を構成します。また、この空間の標準基底はデルタ関数（$δ_s$）を用いて表現され、関数 $f$ については $f(s)$ という形で座標化されます。さらに、$C_G$ にはエルミート内積が自然に定義され、これによってエルミート空間の構造が与えられます。このエルミート空間は、一般に $ ext{ℓ}^2(G)$ として知られています。

畳み込み

また、線型空間 $C_G$ には畳み込みと呼ばれる演算が定義されており、これは群の積を延長したもので、次のように表現されます。
$$igg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg( extstyleigg(a_sigg)igg)a_tigg)igg)igg)igg)igg)igg)igg)a_sigg)igg)b_tigg)igg)b_sigg)igg) δ_{s + t} ext{ 。}$$

この演算によって、$C_G$ は$C$多元環の構造を持つ群多元環と呼ばれるものになります。これは通常 $C[G]$ と表記されます。

双対群

群 $G$ の指標が各点ごとの積により形成される群 $ ext{ˆG}$ が双対群であり、$ ext{ˆG}$ は加法群 $G$ と同型になります。ただし、この同型は自然ではありません。双対群は、線型空間 $C_G$ の中に含まれ、エルミート空間 $ ext{ℓ}^2(G)$ の正規直交基底を形成します。この関係は、エルミート内積の選び方によって正当化されます。そして任意の有限可換群は、二重双対と自然同型であるため、この現象はポントリャーギン双対性と呼ばれています。

調和解析の理論

調和解析の中にはいくつかの重要な定理が含まれており、特にエルミート空間 $ ext{ℓ}^2(G)$ に属する元 $a$ を正規直交基底で表現し、パーセバルの等式が成り立つことが示されます。これは次のように表されます。
$$orall a, b ext{ in } ext{ℓ}^2(G) : igreakig|aigig|^{2} = extstyleigg( extstyle–2igg)igg( |a_{ ext{χ}}|^{2} igg),$$

そしてフーリエ変換は、次のように定義されます。
$$ extit{a^}(χ) = ga_{ ext{χ}} = extstyleigg( extstyleigg(s) × a(s)igg )$$

このフーリエ変換は全単射であることがプランシュレルの定理から示されます。加えて、畳み込みの結果もフーリエ変換と整合性を持つことが確認されます。

応用

調和解析の理論は、特に合同算術や情報理論において多くの応用があります。例えば、ルジャンドル記号が示すように、これは有限体の単数群上で定義され、平方剰余の相互法則などの証明に重要な役割を果たします。このように、有限可換群上の調和解析は数学の多様な分野で広く利用されています。

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