ユニタリ行列

ユニタリ行列：定義と性質

ユニタリ行列は、線形代数学において重要な役割を果たす複素正方行列です。その定義と主要な性質について詳しく見ていきましょう。

定義:

複素正方行列 U がユニタリ行列であるとは、以下の条件を満たすことをいいます。

UU = UU = I

ここで、I は単位行列、U は行列 U の随伴行列（転置行列の各成分の複素共役をとったもの）です。実数行列の場合、随伴行列は単に転置行列に等しくなります。そのため、実ユニタリ行列は直交行列と一致します。言い換えれば、ユニタリ行列は直交行列を複素数体に拡張した概念と言えるでしょう。

主要な性質:

ユニタリ行列は以下の重要な性質を持ちます。

1. 正方行列: ユニタリ行列は常に正方行列です。
2. 正規行列: ユニタリ行列は正規行列です。正規行列とは、自身の随伴行列と可換な行列のことです（UU = UU）。
3. 等長変換: 任意のベクトル x に対して、ユニタリ変換 Ux は等長変換となります。これは、変換の前後のベクトルのノルムが変わらないことを意味します（‖Ux‖ = ‖x‖）。
4. 正則性: ユニタリ行列は正則行列であり、逆行列は自身の随伴行列に一致します（U⁻¹ = U）。
5. 対角化可能性: ユニタリ行列は正規行列であるため、対角化可能です。
6. 固有値: ユニタリ行列の固有値の絶対値は常に 1 です（|λ| = 1）。これは、すべての固有値が複素平面上の単位円周上に存在することを意味します。
7. 特異値: ユニタリ行列の特異値はすべて 1 です。
8. 行列式: ユニタリ行列の行列式の絶対値は常に 1 です（|det(U)| = 1）。
9. 行列指数関数: ユニタリ行列 U は、エルミート行列 H を用いて、U = e^(iH) と表現できます。ここで、e は行列指数関数、i は虚数単位です。

同値条件:

複素正方行列 U がユニタリ行列であるためには、以下の条件のいずれかを満たせば十分です。

UU = I を満たす
UU = I を満たす
正則行列であり、U⁻¹ = U を満たす
列ベクトルが正規直交基底をなす
行ベクトルが正規直交基底をなす
等長写像である
単位円上に固有値を持つ正規行列である

応用:

ユニタリ行列は、量子力学、信号処理、画像処理など、様々な分野で重要な役割を果たしています。例えば、量子力学においては、量子状態の変換を表すためにユニタリ行列が用いられます。また、信号処理や画像処理においては、データの変換や圧縮を行うためにユニタリ変換が利用されます。特異値分解は、任意の行列をユニタリ行列と特異値を対角成分とする対角行列の積に分解する手法で、多次元データの解析や次元削減に広く用いられています。

関連概念:

直交行列（実数の場合）
ユニタリ変換
ユニタリ群
ユニタリ作用素
特異値分解
正規行列

本記事では、ユニタリ行列の基礎的な定義と性質について解説しました。より深く理解するためには、線形代数学に関する専門書を参照することをお勧めします。

もう一度検索