核 (群論)

群の核に関する考察

群論は数学の一分野であり、特に群の核という概念は興味深いものです。この核は、群 G における特定の種類の正規部分群であり、主に正規核と p-核の2種類に分類されます。ここでは、これらの定義や特徴について詳しく解説します。

正規核について

定義

群 G が与えられたとき、部分群 H の正規核、または単に核と呼ばれるものは、H 内の最大の正規部分群です。形式的には、H に含まれる G の全ての正規部分群の交わりとして定義されます。これを数学的に表現すると、次のようになります：

$$\mathrm{Core}_{S}(H) := \bigcap_{s \in S} s^{-1} H s$$

ここで S は G の部分集合で、S を G に設定する場合、これが正規核になります。つまり、G の正規閉包に対応する生の形です。この正規核は、任意の正規部分群に対してはそれ自身と一致します。

特徴

正規核の概念は、群が集合に作用する際に特に重要となります。ある等方部分群の正規核は、その作用に対して恒等変換として機能します。また、もし作用が推移的であれば、等方部分群の正規核は作用の核に相当します。無核部分群はその正規核が自明群であるような群で、推移的かつ忠実な群の作用の中で見られます。群の正規核を通じて、他のタイプの群の部分群における核の解法を一般化することが可能です。

p-核について

定義

p-核は、特定の素数 p に関連する群の部分群の一種で、有限群 G に対して定義されます。この p-核は、G の最大正規 p-部分群を指し、群の全シロー p-部分群の正規核に相当します。これは次のように表されます：

$$Op(G) := \bigcap_{P \in Syl_{p}(G)} P$$

また、特に有限単純群の分類理論の文脈では、2′-核はしばしば単に核と呼ばれることがあります。しかし、この用語は注意が必要で、文脈によって意味合いが異なることがあります。

特徴

正規核と同様に、p-核および p′-核は集合に作用する場面で重要です。有限群の p-核は、標数 p の任意の体上の既約表現の核の交わりに一致します。また、有限群の p′-核は、主 p-ブロックに関連する既約表現の核の交わりと一致します。これはモジュラー表現論の文脈においても重要な役割を果たします。

可解根基

可解根基 O∞(G) は、最大の可解正規部分群として定義され、群 G の p′-核に関連するいくつかの異なる考え方が存在します。この関連性は、特に非可解群の p′-核の定義において見られます。

結論

群の核の概念は非常に豊かで、群の性質や構造を理解するための重要な鍵を提供します。正規核や p-核は、群論における重要なテーマであり、さらに深い数学的議論においても中核を成す概念として位置付けられています。群の活動やその表現における役目を通じて、これらの概念の理解を深めることが可能です。

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