可解群

可解群について

数学の分野、特に群論において、可解群とは特定の性質を持つ群のことを指します。具体的には、可解群は導来列を持ち、その列が有限のステップで自明な部分群に収束する群です。これは、アーベル群から生成された群を拡大する形で得られる群と考えることもできます。そのため、可解群の研究は群の構造や性質を探る上で非常に重要です。

定義と性質

可解群は、以下のように定義されます。群 $G$ が可解群であるためには、すべての因子が可換である連正規列を持つ必要があります。これは、次のような部分群の列が存在することを意味します：

$$ G = G_0
geq G_1
geq ext{...}
geq G_n = 1 $$

この列において、各 $G_k$ は $G_{k+1}$ の正規部分群であり、商群 $G_k/G_{k+1}$ が可換（つまりアーベル群）である必要があります。

また、可解群の可解性は導来列を使っても定義でき、これが有限項で自明な部分群に到達すると定義します。このとき、$G(n) = 1$ となる最小の $n$ を導来列の長さ（derived length）と呼びます。任意の群 $H$ とその正規部分群 $N$ に対して、商群 $H/N$ がアーベル群であるとき、$N$ は $H(1)$ を含むという性質が成立します。これにより、可解群の定義が同値であることが確認できます。

特に、有限群においては、可解群の定義として「組成列において全ての商が素数位数の巡回群である」というものがあります。有限群の場合、すべての単純アーベル群はこの条件に該当するため、一般の可解群の定義とも一致します。

例

可解群の具体的な例として、全てのアーベル群が挙げられます。アーベル群は自明に可解であるため、その性質は明確です。その他にも、多くの群が可解群であり、特に冪零群は常に可解群です。たとえば、有限$p$-群は冪零群であるため、必然的に可解群になります。さらに、対称群 $S_3$ も可解群の一例です。

一方で、非アーベル群が可解であるとは限らず、最小の非アーベル単純群である$A_5$がその良い例です。ただし、$S_5$は可解群ではなく、その理由はその組成列に見られる因子群がアーベル群でないためです。

性質

可解群にはさまざまな保存性の性質があります。まず、群 $G$ が可解であり、全射準同型 $G o H$ が存在する場合、群 $H$ もまた可解群です。さらに、群 $G$ が可解で、その部分群 $H$ も可解であれば、直積 $G imes H$ も可解群になります。

可解性は群の拡大にも保存され、$H$ と $G/H$ がともに可解群であれば、$G$自体も可解群となります。そして、リース積を用いる場合も可解性が保持されます。

定理

群論の中でも特に有名な定理にバーンサイドの定理があります。これは、群の位数が $p^a q^b$ の形（$p, q$ は素数、$a, b$ は非負整数）である場合、その群 $G$ が可解群であることを示すものです。

また、フェイト・トンプソンの定理によれば、すべての奇数位数の有限群は可解群です。このように、可解群は群論の中で非常に多くの興味深い性質と関連概念を持つ重要なテーマとなっています。

もう一度検索