モジュラー表現論

モジュラー表現論とは

モジュラー表現論は、数学における表現論の一分野で、特に有限群 G の線型表現を正標数の体 K 上で研究します。この Theorie は群論だけでなく、代数幾何学、符号理論、組合せ論、数論など、多くの数学的分野で自然に現れています。有限群論の中で、ブラウアーはモジュラー表現論を使い、特にシロー 2-群が小さいことを証明しました。これにより、純粋な群論的手法では難しい単純群の分類において、枢要な役割を果たしました。また、グローバーマンによる「Z*-定理」は、有限群の埋め込みに関する重要な理論を提供しました。

次に、係数体 K の標数が群 G の位数を整除する場合について考えます。このとき、マシュケの定理が適用され、モジュラー表現は完全可約となります。これは通常表現（標数 0 の場合の表現）と似た性質を持ちますが、標数が G の位数を整除する際は異なる動作をするため、注意が必要です。

歴史

モジュラー表現論の初期の研究は、1902年にディクソンが行ったもので、群の位数を割らない標数 p の下での表現論の特性を示しました。また、彼はモジュラー不変量と呼ばれる概念についても研究しました。モジュラー表現の本格的な研究はBrauerの業績に始まると考えられており、以降も多くの数学者がこの領域の発展に寄与してきました。

具体例

例えば、二元体 F2 上の位数 2 の巡回群の表現を探すことは、平方が単位行列になるような行列を見つける問題に帰着されます。この際、標数が 2 でない体では、対角成分が 1 または −1 の対角行列で表現できますが、F2では多くの異なる行列の形式が可能です。

正標数の代数閉体上での有限巡回群の表現理論は、ジョルダン標準形の理論を通じて詳しく説明されます。

環論的解釈

体 K と有限群 G が与えられた場合、群環 K[G] はアルティン環として設計されます。群 G の位数が K の標数を整除する際、群環 K[G] は必ずしも半単純ではなく、重要な特性を持つ零でないジャコブソン根基が存在します。この境界線により、表現論には多くの影響が及ぶことになります。

ブラウアー指標とその関係

1940年代には、リチャード・ブラウアーがモジュラー表現論を展開し、標数 p の表現と通常指標理論の深い相関関係を調査しました。その結果として、ブラウアー指標という概念が導入され、群との関係性を評価するための強力なツールとなりました。

射影加群について

通常の表現論では、直既約加群は自動的に射影的ですが、モジュラー表現論においては標数が群の位数を割る場合、単純加群が射影的になる事例は稀です。射影加群の構造は複雑であり、その解析は困難であることが多いです。

結論

モジュラー表現論は、単純加群の個数や群環の構造と密接に関連しており、数学の多くの領域で基本的なアイデアの源泉となります。標数の異なる群環の性質を理解することは、理論の発展に重要な役割を果たすでしょう。

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