楕円フィルタ

楕円フィルタ（カウアーフィルタ）とは

楕円フィルタ（またはカウアーフィルタ）は、通過帯域と阻止帯域の両方で等リップル特性を示すフィルタ回路の一種です。このフィルタの最大の特徴は、各帯域のリップル量を個別に調整できる点にあります。これにより、同次数の他のフィルタと比較して、通過帯域から阻止帯域への利得変化が最も急峻になります。

しかし、場合によっては、リップルの個別調整を避け、部品の変動に影響されにくいフィルタとして設計されることもあります。

他のフィルタとの関係

第一種チェビシェフフィルタ: 阻止帯域のリップルをほぼゼロにしたもの。
第二種チェビシェフフィルタ: 通過帯域のリップルをほぼゼロにしたもの。
バターワースフィルタ: 両方のリップルをゼロにしたもの。

ローパス楕円フィルタの利得関数

ローパス楕円フィルタの利得は、周波数 ω の関数として以下の式で表されます。

math
H(ω) = \frac{1}{\sqrt{1 + \epsilon^2 R_n^2(\xi, \frac{\omega}{\omega_0})}}


ここで、

`Rn` はn次楕円有理関数（チェビシェフ有理関数）
`ω0` は遮断周波数
`ε` はリップル係数
`ξ` は選択係数

リップル係数 `ε` は通過帯域のリップルを決定し、リップル係数と選択係数 `ξ` の組み合わせは阻止帯域のリップルを決定します。

特性

通過帯域: 楕円有理関数の値は0と1の間で変化し、利得は1と `1/√(1+ε^2)` の間で変化します。
阻止帯域: 楕円有理関数は無限大と識別係数 `Ln` の間で変化し、利得は0と `1/√(1+ε^2Ln^2)` の間で変化します。

他のフィルタとの関連性

`ξ → ∞` の極限で楕円有理関数はチェビシェフ多項式となり、第一種チェビシェフフィルタになります。
バターワースフィルタはチェビシェフフィルタの極限形式であり、 `ξ → ∞`, `ω0 → 0`, `ε → 0` の極限で `εRn(ξ, 1/ω0) = 1` となるようにするとバターワースフィルタになります。
`ξ → ∞`, `ε → 0`, `ω0 → 0` の極限で `ξω0 = 1` かつ `εLn = α` となるようにすれば、第二種チェビシェフフィルタとなり、その利得は以下のようになります。

math
H(ω) = \frac{1}{\sqrt{1 + \alpha^2 R_n^2(1/\xi, \frac{\omega}{\omega_0})}}

極と零点

楕円フィルタの利得の零点は楕円有理関数の極と一致します。利得の極は、第一種チェビシェフフィルタの極と同様の手法で導出できます。遮断周波数を1とした場合、利得の極 `(ωpm)` は、複素周波数 `s = σ + jω` を用いて、以下の条件を満たす点として求められます。

math

• -js = cd(w, 1/\xi)

ここで、`cd()` はヤコビの楕円コサイン関数です。楕円有理関数の媒介変数表示を用いると、以下の式が得られます。

math
w = \frac{(2m + 1)K}{n} + j\frac{K_n}{n}


ここで、`K = K(1/ξ)` および `Kn = K(1/Ln)` です。これを `w` について解くと以下のようになります。

math
\omega_{pm} = -j\, \mathrm{cd}\left( \frac{(2m+1)K}{n} + j\frac{K_n}{n} , \frac{1}{\xi} \right)


したがって、楕円利得関数の極は次のようになります。

math
s_{pm} = \omega_0 \frac{1}{\zeta_n} \left( \frac{1 \pm j\sqrt{1 - \frac{1}{\zeta_n^2}}}{2} \right)


ここで、`ζn` は `n`, `ε` および `ξ` の関数で、`xm` は楕円有理関数の零点です。`ζn` はヤコビの楕円関数を用いて表現できますが、三次程度までなら代数的に表すことが可能です。一次および二次の場合には以下のようになります。

math
\zeta_1 = \sqrt{1 + \epsilon^2} \\ \zeta_2 = \sqrt{\frac{\sqrt{1 + \epsilon^2} + 1 + \sqrt{1 + \epsilon^2} - 1}{\sqrt{1 + \epsilon^2} + 1 - (\sqrt{1 + \epsilon^2} - 1)} \frac{1}{1 - \xi^2}}


ここで

math
L_m = R_m(\xi, \xi)

最小Q値楕円フィルタ

一般に、楕円フィルタの特性は、通過帯域のリップル、阻止帯域のリップル、遮断の急峻度で表されます。これらによって使用可能なフィルタ次数の最小値が決定されます。また、設計時には部品の特性が利得関数にどの程度影響を与えるか考慮する必要があります。この影響度は、伝達関数の極のQ値に反比例します。極のQ値は以下のように定義されます。

math
Q = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2a}


楕円フィルタでは、次数を固定しリップル係数と選択係数を変化させると、伝達関数の全ての極のQ値を同時に最小化する組み合わせが存在します。この条件を満たすフィルタは、部品の特性のばらつきに最も影響されないフィルタとなりますが、通過帯域と阻止帯域のリップルを個別に設定することはできません。このフィルタの次数を上げていくと、両帯域のリップルが減少し、遮断率が高くなります。最小Q値楕円フィルタでリップルも最小化しようとすると、最小Q値でないフィルタよりも次数を高くする必要があります。利得の絶対値を複素周波数平面にプロットすると、極は真円上に並びます。

他の線形フィルタとの比較

楕円フィルタは、他のフィルタよりも急峻な遮断特性を持ちますが、全帯域にリップルが生じます。

まとめ

楕円フィルタは、通過帯域と阻止帯域の両方で等リップル特性を持つ、非常に強力なフィルタです。各帯域のリップル量を個別に調整できるため、特定の用途に合わせて柔軟に設計できます。他のフィルタと比較して遮断特性が急峻である一方、リップルの影響も考慮する必要があります。適切な設計により、様々な信号処理アプリケーションでその性能を発揮します。

参考文献

Daniels, Richard W. (1974年). Approximation Methods for Electronic Filter Design. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6
Lutovac, Miroslav D.; Tosic, Dejan V., Evans, Brian L. (2001年) (English). Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2
* Anatol I. Zverev (1967年, 2005年). Handbook of Filter Synthesis, (Chap. 4, Elliptic Functions and Elements of Realization), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-74942-4 .

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