バターワースフィルタ

バターワースフィルタとは

バターワースフィルタは、フィルタ回路設計の一種であり、通過帯域において可能な限り平坦な周波数特性を持つように設計されています。このフィルタは、1930年にイギリスの技術者スティーブン・バターワースによって論文「On the Theory of Filter Amplifiers」で発表されました。

バターワースフィルタは、特定のフィルタ回路構成を指す用語ではなく、フィルタの応答特性を表す用語です。そのため、「バターワース特性」とも呼ばれます。

バターワースフィルタの概要

バターワースフィルタの周波数応答は、通過帯域では最大限に平坦であり、除去帯域に向かってゼロに近づいていきます。対数目盛のボーデ図で見ると、応答曲線は線形に負の無限大に近づきます。

一次フィルタの場合、応答曲線の傾斜は-6dB/octave（または-20dB/decade）となります。二次バターワースフィルタの場合、傾斜は-12dB/octave、三次の場合-18dB/octaveとなります。バターワースフィルタの大きな特徴として、次数が上がっても特性曲線の形状が変わらず、傾斜が急峻になる点が挙げられます。

他のフィルタ（ベッセル、チェビシェフ、楕円など）と比較すると、バターワースフィルタによる減衰は緩やかです。そのため、特定の除去帯域仕様を満たすには高次な実装が必要になります。しかし、通過帯域では他のフィルタよりも線形な位相応答を示すという利点があります。

簡単な例：三次ローパスフィルタ

バターワースフィルタの簡単な例として、三次ローパスフィルタの回路を考えます。この回路の各素子の値を次のように設定します。

C2 = 4/3
R4 = 1Ω
L1 = 3/2 H
L3 = 1/2 H

この時、複素周波数を s = σ + jω とすると、この回路の伝達関数 H(s) は以下の式で表されます。


H(s) = Vout(s) / Vin(s) = 1 / (1 + 2s + 2s^2 + s^3)


周波数応答の大きさ（利得）G(ω)は、以下の式で得られます。


G^2(ω) = |H(jω)|^2 = 1 / (1 + ω^6)


また、位相Φ(ω)は以下の式で得られます。


Φ(ω) = arg(H(jω))


このフィルタの利得と遅延をプロットしたグラフを見ると、通過帯域にも除去帯域にもリップルがないことがわかります。

伝達関数

n次バターワースローパスフィルタの利得 G(ω)は、伝達関数H(s)から以下のように導き出されます。


G^2(ω) = |H(jω)|^2 = G0^2 / (1 + (ω/ωc)^(2n))


ここで、nはフィルタの次数、ωcは遮断周波数（約-3dBとなる周波数）、G0はDC利得（ゼロ周波数での利得）です。

nが無限大に近づくと、利得は矩形関数になり、ωc以下の周波数はG0の利得で通過し、ωc以上の周波数は抑圧されます。nが小さいほど、遮断は緩やかになります。

伝達関数H(s)を決定するため、s = jωの時のH(s)H(-s)を計算すると|H(jω)|^2と同じになり、以下の式が得られます。


H(s)H(-s) = G0^2 / (1 + (-s^2/ωc^2)^n)


この式の極は半径ωcの円上に等間隔で現れます。伝達関数自体は複素平面s上の実数が負の側の極で決定されます。k番目の極は以下の式で表されます。

• -s_k^2/ωc^2 = (-1)^(1/n) = e^(j(2k-1)π/n) (k=1,2,3,...,n)

従って、次の式が得られます。


s_k = ωc e^(j(2k+n-1)π/(2n)) (k=1,2,3,...,n)


伝達関数はこれらの極を使って次のようにも表せます。


H(s) = G0 / (∏(k=1 to n) (s-s_k)/ωc)


分母はsにおけるバターワース多項式です。

正規化バターワース多項式

バターワース多項式は、複素数形式だけでなく、複素共役な極同士を掛け合わせることで実数形式でも記述できます。多項式をωc = 1と設定することで正規化されます。正規化バターワース多項式の一般形は以下のようになります。

nが偶数の場合


Bn(s) = ∏(k=1 to n/2) [s^2 - 2s cos((2k+n-1)π/(2n)) + 1]


nが奇数の場合


Bn(s) = (s+1) ∏(k=1 to (n-1)/2) [s^2 - 2s cos((2k+n-1)π/(2n)) + 1]

最大平坦性

ωc = 1かつG0 = 1とした時、周波数毎の利得の導関数は以下の式で表されます。


dG/dω = -nG^3 ω^(2n-1)


利得Gは常に正なので、全てのωについて単調減少します。バターワースフィルタの利得関数にはリップルがないことがわかります。さらに、利得を級数展開すると次のようになります。


G(ω) = 1 - (1/2)ω^(2n) + (3/8)ω^(4n) + ...


利得の導関数は2n次導関数を超えるまでゼロであり、これにより最大平坦性が実現されます。

高周波ロールオフ

ωc=1としたとき、ωが大きい時の利得の対数の傾斜は以下のようになります。


lim(ω→∞) d(log(G))/d(log(ω)) = -n


デシベルで表すと、高周波ロールオフは20n dB/decadeまたは6n dB/octaveとなります。

フィルタ設計

線形アナログフィルタ回路を実装するには、様々なトポロジーが存在します。

Cauer形

Cauer形は、受動部品のみで線形アナログフィルタを構成します。バターワースフィルタの伝達関数はCauer形の回路で実装できます。

k番目の部品の特性値は以下のようになります。

Ck = 2sin((2k-1)π/(2n)) (kが奇数)
Lk = 2sin((2k-1)π/(2n)) (kが偶数)

Sallen-Key形

Sallen-Key形は能動部品（オペアンプ）も使って線形アナログフィルタを実装するトポロジーです。各段のSallen-Key形回路で複素共役の2つの極を実装します。全体としては、Sallen-Key形の回路をカスケード接続してフィルタを構成します。
nが奇数の場合は実数の極ができますが、それは別途実装する必要があります。

Sallen-Key形の伝達関数は次の通りです。


H(s) = 1 / (1 + C2(R1+R2)s + C1C2R1R2s^2)


この分母がバターワース多項式の二次項の1つになるように設定する必要があります。

ωc=1とすると、


C1C2R1R2=1


かつ


C2(R1+R2)=2cos((2k+n-1)π/(2n))


となるように設定します。この場合、2つの部品の値が定まらないので、自由に選んで問題ありません。

デジタルでの実装

バターワースフィルタをデジタルフィルタとして実装する場合、双一次変換やZ変換を使ってアナログフィルタを離散化することが一般的です。高次の場合、量子化誤差の影響が出やすいので、バイクアッドフィルタをカスケード接続したものとして計算することが多いです。

他の線形フィルタとの比較

バターワースフィルタは、他のフィルタと比較して遮断周波数付近でのロールオフが緩やかですが、リップルが見られないという特徴があります。

まとめ

バターワースフィルタは、通過帯域で平坦な周波数特性が求められる場合に最適なフィルタです。設計が比較的簡単で、様々な回路構成で実装できる汎用性の高いフィルタと言えるでしょう。

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