極 (複素解析)

複素解析における極：詳細解説

複素解析において、有理型関数の特異点の一種として極が存在します。極は、関数のある点における振る舞いを特徴づける重要な概念です。簡単に言うと、関数がその点に近づくにつれて無限大に発散する特異点のことを指します。これは、関数 $f(z) = \frac{1}{z^n}$ の $z=0$ における特異点と類似した挙動を示します。

極の定義

複素平面 $\mathbb{C}$ の開集合 $U$ と、$U$ の元 $a$ を考えます。関数 $f: U \setminus \{a\} \to \mathbb{C}$ は、$a$ を除く $U$ 上で正則であるとします。正の整数 $n$ と $U$ 上で正則な関数 $g: U \to \mathbb{C}$ が存在し、$U \setminus \{a\}$ 上の全ての $z$ について以下の式が成り立つとき、$a$ を $f$ の極と言います。

$f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n}$

この式における最小の $n$ を極の位数と呼びます。位数が1の極を単純極と呼びます。

一部の文献では、極の位数に0を許容し、位数0の極は正則点または除去可能特異点とみなしますが、一般的には極の位数は正の整数と定義されます。

極の特徴付け

極の位数を $n$ とすると、関数 $g$ は $g(a)
eq 0$ を満たします。これは、$a$ の近傍で正則であり、$a$ において位数 $n$ の零点を持つ関数 $h$ が存在し、以下の式が成り立つことを意味します。

$f(z) = \frac{1}{h(z)}$

この式から、極は正則関数の零点の逆数として理解できることが分かります。

さらに、$g$ の正則性から、$f$ はローラン級数展開を用いて以下のように表すことができます。

$f(z) = \frac{a_{-n}}{(z-a)^n} + \cdots + \frac{a_{-1}}{(z-a)} + \sum_{k\ge 0} a_k (z-a)^k$

ここで、$\sum_{k\ge 0} a_k (z-a)^k$ は $f$ の正則部分と呼ばれます。したがって、点 $a$ が $f$ の位数 $n$ の極であることと、$f$ の $a$ の周りのローラン展開において、次数 $-n$ より下の全ての項が 0 であり、次数 $-n$ の項が 0 でないことは同値です。

無限遠点での極

複素関数は無限遠点に極を持つことができます。この場合、関数の定義域は、例えば閉円板の外側のような無限遠点の近傍である必要があります。無限遠点での極の定義は、写像 $z \mapsto \frac{1}{z}$ を用いて、有限の点での極の定義に帰着させることができます。

複素多様体上の極

複素多様体 $M$ 上の点 $a$ の近傍 $U$ で正則な関数 $f: M \to \mathbb{C}$ が $a$ で位数 $n$ の極を持つとは、チャート $\phi: U \to \mathbb{C}$ が存在し、関数 $f \circ \phi^{-1}: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ が $\phi(a)$ で位数 $n$ の極を持つことを意味します。無限遠点での極は、この定義の最も単純な非自明な例です。

例

$f(z) = \frac{3}{z}$ は $z=0$ に位数1の極を持つ。
$f(z) = \frac{z+2}{(z-5)^2(z+7)^3}$ は $z=5$ に位数2の極、$z=-7$ に位数3の極を持つ。
$f(z) = \frac{z-4}{e^z - 1}$ は任意の整数 $n$ について $z = 2\pi ni$ に位数1の極を持つ。
$f(z) = z$ は無限遠点で位数1の極を持つ。

用語と一般化

関数の一次導関数が $a$ で位数1の極を持つとき、$a$ はその関数の分岐点です。極や分岐点ではない除去不可能な特異点を真性特異点と言います。孤立した特異点以外で正則であり、特異点が極のみである複素関数を有理型関数と呼びます。

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