概念記法

『概念記法』：数理論理学の礎を築いたフレーゲの業績

ゴットロープ・フレーゲが1879年に発表した『概念記法』（独: Begriffsschrift, 完全な書名は「算術の式言語を模した、純粋な思考のための一つの式言語」）は、アリストテレス以来の論理学における最も重要な著作の一つとされています。ライプニッツの推論計算機に似た発想から生まれたこの体系は、数学の基礎研究に大きく貢献し、後の数理論理学の発展に決定的な影響を与えました。

『概念記法』の革新性

Terrell Ward Bynumは『概念記法』の意義を11項目に挙げていますが、その主なものは以下の通りです。

命題関数: フレーゲは、従来の主語述語形式の命題を、関数と項を用いた表現に置き換えました。「水素は二酸化炭素より軽い」という命題において、「水素」を項、「二酸化炭素より軽い」を関数とみなし、項を置き換えることで様々な命題を表現可能にしたのです。
量化理論: 「すべての」、「ある」といった表現を扱うための量化記号を導入しました。これにより、「誰もが誰かを愛している」のような複雑な命題の表現が可能になり、論理の表現力を飛躍的に向上させました。
関係の祖先: 現代でいう祖先関係の最初の定式化を行いました。これは、後述する数学的帰納法の証明にも関連しています。
数学的帰納法: 数学的帰納法の論理的分析を初めて行いました。祖先関係の定義や証明において、数学的帰納法の原理が用いられています。
* 第二階の量化: 関数の関数を考えるという、高度な概念を導入しました。これは後の高階論理の基礎となりました。

記号体系と公理系

『概念記法』は、現代とは異なる独自の2次元記号体系を用いています。量化された変数の概念が初めて導入され、結合子や限量子は、今日使用される記号ではなく、式をつなぐ線を用いて表現されています。例えば、実質含意(BならばA)は、AをBの下に配置し矢印で繋ぐことで表現されます。

フレーゲは、命題、全称量化子、条件法、否定、内容の相等性などを基本的な概念として定義し、9つの公理を提示しました。これらの公理は直観的に真であるとされ、現代的な記法で表現すると以下のようになります。(記号は現代の標準的な記法に置き換えています)

1. ⊢ A → (B → A)
2. ⊢ [A → (B → C)] → [(A → B) → (A → C)]
3. ⊢ [D → (B → A)] → [B → (D → A)]
4. ⊢ (B → A) → (¬A → ¬B)
5. ⊢ ¬¬A → A
6. ⊢ A → ¬¬A
7. ⊢ (c = d) → (f(c) → f(d))
8. ⊢ c = c
9. ⊢ (∀a: f(a)) → f(c)

これらの公理と、モドゥス・ポネンス、全称汎化、代入規則といった推論規則を用いることで、様々な定理を導き出すことができます。

祖先関係

『概念記法』の第3章「系列の一般理論の若干のトピックス」では、祖先関係の概念が詳しく論じられています。フレーゲは、手続きfをxに適用した結果がyであることをf(x,y)と表記し、数学的帰納法を用いて祖先関係を定義しています。祖先関係が推移的であることなども証明されています。

後世への影響

『概念記法』は、後の形式論理学に多大な影響を与えました。特に、2階論理の導入は、数学や自然言語を表現する能力において画期的でした。フレーゲの記号体系の一部は現代の論理記号にも残っており、その影響は計り知れません。ルートヴィヒ・ウィトゲンシュタインの『論理哲学論考』もフレーゲの思想に強い影響を受けています。しかし、フレーゲ自身は、後年の著作『意義と意味について』において、『概念記法』における相等性の扱いを修正しています。

『概念記法』は、現代の数理論理学の基礎を築いただけでなく、哲学や言語学にも大きな影響を与えた、極めて重要な著作と言えるでしょう。その革新的な概念と厳密な体系は、現在でも高く評価され、研究され続けています。

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