構造定数 (数学)

分配多元環の構造定数

分配多元環の構造定数とは、特定の自由加群に対して、その積の構造を定まる重要な定数を指します。これにより、与えられた自由加群が分配多元環として機能するための基盤が構築されます。具体的な定義やその特性について、以下に詳述します。

定義

単位的かつ可換な環 \( R \) の上に定義された自由加群 \( A \) を考えます。このとき、基底を \( \{ e_i \}_{i \in I} \) とし、基底の各要素間の積を \( \gamma_{ijk} \) という添字で定義します。これにより、任意の \( A \) の元に対して、次のように積を決定できます。

\[
(r_i, r_j ext{ は } R の元の場合、} \quad r_i * r_j = \sum_{k \in I} \gamma_{ijk} imes e_k
\]

ここで、各 \( i, j, k \) に対して \( \gamma_{ijk} \) が分配多元環の構造定数です。\( I \) の任意の有限集合において、\( n \) 個の元がある場合、これらの構造定数は合計で \( n^3 \) 個存在します。

例

例えば、複素数体 \( C \) の基底 \( \{ 1, i \} \) に注目します。この場合、\( 1 \) を \( e_0 \) 、\( i \) を \( e_1 \) と設定します。この時、ツールに関する構造定数は次のように表現されます。

\[
\gamma_{000} = 1, \quad \gamma_{001} = 0,
\quad \gamma_{010} = 0, \quad \gamma_{011} = 1,
\quad \gamma_{100} = 0, \quad \gamma_{101} = -1,
\quad \gamma_{110} = 1, \quad \gamma_{111} = 0
\]

したがって、複素数体の構造定数は全部で8個存在します。同様に、四元数体 \( H \) の場合、基底 \( \{ 1, i, j, k \} \) に対しても同様の操作が行え、最終的に64個の構造定数が得られます。

また、任意の群 \( G \) に対して添字付けされた基底 \( \{ e_\sigma \}_{\sigma \in G} \) を持つ自由加群 \( A \) でも構造定数が定義できます。この場合、クロネッカーのデルタを使用して積を設定できます。これにより、群環やねじれ群環と呼ばれる構造が得られます。

性質

構造定数 \( \{ \gamma_{ijk} \}_{i,j,k \\in I} \) が次の関係を満たすことは重要です。

\[
\gamma_{ijk} = \gamma_{jik} ag{対称性}
\]

この性質は、分配多元環の積が結合法則を満たすことと同値です。先述の例で確認できる通り、この性質は様々なケースで確立されています。特に、ねじれ群環においては、この等式はコサイクル条件となります。

関連項目

• - 群環
• - 四元数環

参考文献

• - Skornyakov, L.A. (2001) [1994], “Structure constant”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

このように、構造定数は分配多元環の理解において核心的な役割を果たす要素であり、その特性や構造について深く探求することが必要です。

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