余因子行列

n次正方行列の余因子行列

線形代数学において、n次正方行列Aの余因子行列（adjugate matrix）は、Aの(i,j)成分の(i,j)余因子を(j,i)成分に持つ行列として定義されます。記号としてはadj(A), Cof(A), A~などが用いられます。余因子行列自身もn次正方行列であり、正則行列の逆行列の具体的な成分表示に役立ちます。

余因子行列の定義

可換環R上のn次正方行列A = (ai,j)について、その(i,j)小行列式をMi,jとします。これはAから第i行と第j列を除いてできる(n-1)次小正方行列の行列式です。このとき、Aの(i,j)余因子 ~ai,j は、~ai,j = (-1)^(i+j)Mi,j と定義されます。

余因子行列adj(A)は、(i,j)成分がAの(j,i)余因子 ~aj,i である行列として定義されます。つまり、adj(A) = (bi,j)とすると、bi,j = ~aj,i となります。

余因子行列と逆行列

行列Aとその余因子行列adj(A)の間には、次の重要な関係式が成り立ちます。

AA~ = A~A = det(A)I

ここで、Iはn次単位行列です。Aが正則行列（det(A)≠0）の場合、この式から逆行列A^(-1)を余因子行列を用いて次のように表すことができます。

A^(-1) = (1/det(A))A~

これは、正則行列の逆行列を具体的に計算する際に非常に有効な公式です。

余因子行列の計算例

1. 1次正方行列: 1次正方行列A=(a)の余因子行列は、a≠0のとき、adj(A) = (1) となります。a=0のときは、慣習的にadj(A) = (0)とします。

2. 2次正方行列: 2次正方行列

A = a, b], [c, d

の余因子行列は

adj(A) = d, -b], [-c, a

となります。2次正方行列の場合、adj(adj(A)) = Aが成り立ちます。

3. 3次正方行列: 3次正方行列の場合、余因子の計算はより複雑になります。例えば、行列

A = -3, 2, -5], [-1, 0, -2], [3, -4, 1

の余因子行列は

adj(A) = -8, 18, -4], [-5, 12, -1], [4, -6, 2

となります。

余因子行列の性質

以下に、余因子行列の重要な性質をいくつか示します。これらの性質は、余因子行列に関する様々な計算や証明に役立ちます。

adj(O) = O (Oは零行列)
adj(I) = I (Iは単位行列)
adj(cA) = c^(n-1)adj(A) (cはスカラー)
adj(A^T) = (adj(A))^T (Tは転置を表す)
det(adj(A)) = (det(A))^(n-1)
Aが正則なら、adj(A) = (det(A))A^(-1)
adj(A^(-1)) = (adj(A))^(-1)
adj(AB) = adj(B)adj(A)
adj(A^k) = (adj(A))^k (kは整数)
rk(A) ≤ n-2 ならば adj(A) = O
* rk(A) = n-1 ならば rk(adj(A)) = 1

ケイリー・ハミルトンの定理

ケイリー・ハミルトンの定理は、行列Aの固有多項式pA(t)について、pA(A) = Oが成り立つという定理です。この定理を用いることで、余因子行列をAとpA(t)の係数のみを用いて表現することができます。

高階余因子行列

r ≥ 0を固定したとき、Aのr階余因子行列adjr(A)は、Aの(n-r)次小行列式から構成される行列です。adjr(A)は、(n r)次正方行列であり、通常の余因子行列はadj1(A)に相当します。

外積代数との関係

余因子行列は外積代数の概念を用いてより抽象的に定義することもできます。このアプローチは、余因子行列の性質をより深く理解するのに役立ちます。

まとめ

本記事では、n次正方行列の余因子行列について、その定義、性質、計算方法、逆行列や固有多項式との関係などを解説しました。余因子行列は線形代数学において重要な役割を果たし、特に逆行列の計算や様々な公式の導出に役立ちます。

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