正則開集合

位相空間における正則開集合と正則閉集合

位相空間において、正則開集合とは、特定の条件を満たす部分集合のことを指します。具体的には、集合が自身の閉包の内部と等しい場合、それを正則開集合と呼びます。数学的には、部分集合 S の内部を Int(S)、閉包を C(S)、境界を F(S) と表現した場合、S が正則開集合である条件は次のように表されます。

1. Int(C(S)) = S
2. F(C(S)) = F(S)

この2つの条件が同時に成り立つとき、部分集合 S は正則開集合と見なされます。

一方で、正則閉集合は、集合の内部の閉包が自身に等しいとされる部分集合です。この性質は次のように表されます。

1. C(Int(S)) = S
2. F(Int(S)) = F(S)

これらの等式が成り立つ場合、集合は正則閉集合となります。

具体例

通常のユークリッド空間 R においては、すべての開区間が正則開集合です。例えば、集合 S = (0, 1) ∪ (1, 2) を考えた際、Int(C(S)) は (0, 2) となるため、S は正則開集合ではありません。一方で、閉区間は一点集合でない限りは正則閉集合です。ただし、一点集合 {x} の場合は内部が空であるため、正則閉集合とはなりません。

性質

正則開集合は常に開集合であり、正則閉集合は閉集合です。集合 S が正則開集合であるための条件は、その補集合が正則閉集合であることです。また、すべての開いている集合と閉じている集合は、同時にそれぞれ正則開集合および正則閉集合でもあります。

閉集合と開集合の関係

任意の閉集合の内部は正則開集合であり、逆に開集合の閉包は正則閉集合として扱われます。さらに、2つの正則開集合の交差は正則開集合ですが、合併は必ずしも正則開集合とは限りません。一方、正則閉集合については、合併は正則閉集合ですが、交差は必ずしも正則閉集合とはなりません。

ブール代数の構成

位相空間 X 内のすべての正則開集合からなる族は、以下の操作を通じて完備ブール代数を形成します。

• - 結合操作: U ∨ V = Int(C(U ∪ V))
• - 交差操作: U ∧ V = U ∩ V
• - 補元: ¬U = Int(X ∖ U)

これにより、正則開集合群はブール論理的特性を持っていることが示されます。

参考文献

• - Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978. Reprinted by Dover Publications, 1995.
• - Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Dover Publications.

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