正矢
正矢は、versineまたはversed sineとも呼ばれる三角関数の一つです。その定義は非常にシンプルで、ある角度 $ \theta $ の余弦（コサイン）の値を1から引いたものとなります。数式では $ \operatorname{versin}(\theta) = 1 - \cos(\theta) $ と表され、versin, sinver, vers, sivといった略称で表記されることもあります。ラテン語では sinus versus（「反転した正弦」の意）や、図形の形状から sagitta（「矢」の意）とも呼ばれました。
この関数は、現代では一般的な正弦（サイン）や余弦ほど馴染みがありませんが、古くから存在しており、初期の三角関数表にもその値を見ることができます。特に古代インドの天文学書には、正弦とともに正矢の値の表が掲載されていたとされています。また、プトレマイオスが導いた半角の公式の導出過程にも正矢は登場します。
正矢の幾何学的な意味は、単位円上で考えると分かりやすいです。通常の正弦は、円の中心から引いた半径と弦がなす角度の半分（θ）に対する、垂直な弦の半分の長さを表します。一方、正矢は、その弦の中点から円周までの距離、すなわち弦に対する「矢」のような部分の長さに相当します。円の半径が1の場合、正弦は垂直方向、正矢は水平方向の距離として捉えられ、この対比から正弦は sinus rectus（「直線正弦」）、正矢は sinus versus（「向きを変えた正弦」）と呼ばれました。この幾何学的な解釈は、正矢が「矢」という意味のラテン語 sagitta とも関連付けられた理由を示しています。
数式 $ \operatorname{versin}(\theta) = 1 - \cos(\theta) $ は基本的な定義ですが、半角の公式を用いて $ \operatorname{versin}(\theta) = 2 \sin^2(\theta/2) $ とも表現できます。この別の表現は、特に角度θがゼロに近い場合に計算上の利点がありました。$\cos(\theta)$ が1に非常に近い場合、$ 1 - \cos(\theta) $ の計算では桁落ちと呼ばれる誤差が生じやすくなります。しかし、$ \sin(\theta/2) $ は小さな値になるため、その2乗を計算する方が精度が高くなります。このため、初期の計算機がない時代には、この形式の計算を容易にするために正矢の値が三角関数表に掲載されていたのです。また、正矢の値はθが0, 2π,...の点を除いて常に非負であるため、その対数を取ることができ、対数表を用いた乗除計算に利用できるという利点もありました。
正矢に関連する関数として、余矢（coversine）や半正矢（haversine）があります。余矢は $ 1 - \sin(\theta) $、半正矢は正矢の半分の値、すなわち $ \operatorname{haversin}(\theta) = \frac{1}{2}\operatorname{versin}(\theta) = \sin^2(\theta/2) $ と定義されます。これらの関連関数にもそれぞれ略称やラテン語名称が存在します。
中でも半正矢は、歴史的に特に重要な役割を果たしました。それは、地球上の2点間の距離を、それぞれの位置の経度と緯度から計算するための半正矢公式に用いられたからです。この公式は、地球の形状（回転楕円体）であっても、比較的正確な距離計算を可能にしました。19世紀初頭には、ヨゼフ・デ・メンドーサ・イ・リオスやジェームズ・アンドリュー、そして1835年に haversine という用語を考案したジェームズ・インマンといった航海術の専門家によって、半正矢を含む表が作成・出版されました。現代の航海術でも半正矢は使用される場面があり、新たな応用も見出されています。
正矢や半正矢は、現代では信号処理や制御理論といった分野でも応用されています。特定の角度範囲におけるこれらの関数の波形は、パルス関数や窓関数（ハン窓関数など）の形状として利用されます。これは、値が0から滑らかに立ち上がり、再び0に戻るという性質が、信号の開始・終了部分をスムーズに処理するのに適しているためです。これらの応用では、ハン関数やレイズド・コサイン・フィルターといった名称で知られています。
数学的な性質としては、正矢や関連関数は互いに角度をずらすことで変換できる関係にあります。また、それぞれの関数には逆関数が存在し、複素平面への拡張や、マクローリン級数による表示も可能です。弦の長さや半径など、関連する幾何学的要素を用いた近似式も知られています。
このように、正矢は単なる数学的な定義に留まらず、計算技術の歴史、航海術の発展、そして現代の工学分野に至るまで、様々な側面を持つ興味深い三角関数と言えるでしょう。
この関数は、現代では一般的な正弦（サイン）や余弦ほど馴染みがありませんが、古くから存在しており、初期の三角関数表にもその値を見ることができます。特に古代インドの天文学書には、正弦とともに正矢の値の表が掲載されていたとされています。また、プトレマイオスが導いた半角の公式の導出過程にも正矢は登場します。
正矢の幾何学的な意味は、単位円上で考えると分かりやすいです。通常の正弦は、円の中心から引いた半径と弦がなす角度の半分（θ）に対する、垂直な弦の半分の長さを表します。一方、正矢は、その弦の中点から円周までの距離、すなわち弦に対する「矢」のような部分の長さに相当します。円の半径が1の場合、正弦は垂直方向、正矢は水平方向の距離として捉えられ、この対比から正弦は sinus rectus（「直線正弦」）、正矢は sinus versus（「向きを変えた正弦」）と呼ばれました。この幾何学的な解釈は、正矢が「矢」という意味のラテン語 sagitta とも関連付けられた理由を示しています。
数式 $ \operatorname{versin}(\theta) = 1 - \cos(\theta) $ は基本的な定義ですが、半角の公式を用いて $ \operatorname{versin}(\theta) = 2 \sin^2(\theta/2) $ とも表現できます。この別の表現は、特に角度θがゼロに近い場合に計算上の利点がありました。$\cos(\theta)$ が1に非常に近い場合、$ 1 - \cos(\theta) $ の計算では桁落ちと呼ばれる誤差が生じやすくなります。しかし、$ \sin(\theta/2) $ は小さな値になるため、その2乗を計算する方が精度が高くなります。このため、初期の計算機がない時代には、この形式の計算を容易にするために正矢の値が三角関数表に掲載されていたのです。また、正矢の値はθが0, 2π,...の点を除いて常に非負であるため、その対数を取ることができ、対数表を用いた乗除計算に利用できるという利点もありました。
正矢に関連する関数として、余矢（coversine）や半正矢（haversine）があります。余矢は $ 1 - \sin(\theta) $、半正矢は正矢の半分の値、すなわち $ \operatorname{haversin}(\theta) = \frac{1}{2}\operatorname{versin}(\theta) = \sin^2(\theta/2) $ と定義されます。これらの関連関数にもそれぞれ略称やラテン語名称が存在します。
中でも半正矢は、歴史的に特に重要な役割を果たしました。それは、地球上の2点間の距離を、それぞれの位置の経度と緯度から計算するための半正矢公式に用いられたからです。この公式は、地球の形状（回転楕円体）であっても、比較的正確な距離計算を可能にしました。19世紀初頭には、ヨゼフ・デ・メンドーサ・イ・リオスやジェームズ・アンドリュー、そして1835年に haversine という用語を考案したジェームズ・インマンといった航海術の専門家によって、半正矢を含む表が作成・出版されました。現代の航海術でも半正矢は使用される場面があり、新たな応用も見出されています。
正矢や半正矢は、現代では信号処理や制御理論といった分野でも応用されています。特定の角度範囲におけるこれらの関数の波形は、パルス関数や窓関数（ハン窓関数など）の形状として利用されます。これは、値が0から滑らかに立ち上がり、再び0に戻るという性質が、信号の開始・終了部分をスムーズに処理するのに適しているためです。これらの応用では、ハン関数やレイズド・コサイン・フィルターといった名称で知られています。
数学的な性質としては、正矢や関連関数は互いに角度をずらすことで変換できる関係にあります。また、それぞれの関数には逆関数が存在し、複素平面への拡張や、マクローリン級数による表示も可能です。弦の長さや半径など、関連する幾何学的要素を用いた近似式も知られています。
このように、正矢は単なる数学的な定義に留まらず、計算技術の歴史、航海術の発展、そして現代の工学分野に至るまで、様々な側面を持つ興味深い三角関数と言えるでしょう。
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