正規言語

正規言語についての詳細

正規言語は、さまざまな形式言語の中でも特に基本的かつ重要なカテゴリーに属します。これらの言語は、特定の性質を満たすことから定義されます。このセクションでは、正規言語の特徴や定義、そしてその判断基準について詳しく見ていきます。

定義と特徴

正規言語の集合は、以下の性質を持つ言語を基にして再帰的に定義されます。まず、空の言語（0）と空文字列言語（{ε}）が正規言語と認められます。また、任意の文字 a がセット Σ に存在する場合、その文字だけを含む単集合言語 {a} も正規言語です。

さらに、正規言語 A と B に対して、以下の演算により生成される言語もまた正規言語となります：

• - 和集合 (A ∪ B)
• - 結合 (A • B)
• - クリーネ閉包 (A)

このように、正規言語は特定の操作によって構成されるため、簡単に言えば、有限の文字列から成る言語は全て正規言語と見なされるのです。たとえば、文字セット {a, b} に基づく偶数個の a を含んだ文字列の集まりや、任意個数の a に続いて任意個数の b が続くような言語も正規言語に該当します。

閉包属性

正規言語の一つの特性として、和集合や積集合、差集合などの演算を施した結果もまた正規言語であることが挙げられます。また、正規言語の補集合や文字列を逆転させた結果も正規言語となります。したがって、正規言語同士の結合によって新たに生成される言語も正規に分類されるのです。さらに、正規言語に対し「シャッフル」と呼ばれる操作を行うと、結果も正規言語となります。

正規言語の判定基準

正規言語は、チョムスキー階層において文脈自由言語の部分集合として位置付けられます。言い換えれば、正規言語は文脈自由言語の一部でありながら、その逆は成り立たないということです。たとえば、同じ個数の a および b を含む文字列は文脈自由言語ですが、正規言語にはなりません。この特徴の確認には、マイヒル-ネローデの定理や反復補題（pumping lemma）の応用が有効です。

代数学的定義

正規言語のさらなる理解には、二つの代数学的手法があります。まず、Σ を有限アルファベットとし、Σ をその上の自由モノイドとすると、f: Σ → M がモノイド同型を形成します。このとき、M が有限モノイドとして定義され、S を M の部分集合とすることで、f^{-1}(S) は正規言語となります。これにより、任意の正規言語の構築が可能となります。

もう一つの方法は、言語 L が Σ 上で定義された時、同値関係 ~ を次のように設定します：

$$
x ext{∼} y : ⇔ ∀ z ∈ Σ : xz ∈ L ↔ yz ∈ L$$

この関係から、言語 L が正規言語であるためには、同値類の指標が有限である必要があります。興味深いことに、この指標は、L を受理するための最小の決定性有限オートマトンの状態数に一致します。

正規言語は形式言語理論における重要な概念であり、その理解はコンピュータサイエンスや計算理論に多大な影響を与えています。これらの基礎知識を押さえることで、より高度な理論に進むための土台を築くことができます。

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