単集合

単集合：唯一の要素を持つ集合

数学において、単集合（singleton set）とは、ただ一つの要素しか含まない集合のことです。例えば、{0} は0という唯一の要素を持つ単集合です。単集合は、集合論において基本的な概念であり、様々な分野で応用されています。

単集合の性質

単集合の重要な性質をいくつか見ていきましょう。

集合としての同一性: 単集合{1}と要素1とは異なる数学的対象です。{1}は1を要素とする集合であり、1自身は集合ではありません。同様にして、空集合{}と、空集合のみを要素とする単集合{{}}も異なるものです。
濃度: 単集合の濃度は1です。集合の濃度とは、集合の要素の数を表すもので、単集合は常に濃度1を持ちます。自然数の集合論的構成において、自然数1はしばしば単集合{0}として定義されます。
公理的集合論における存在: ツェルメロ・フレンケル集合論においては、対の公理から単集合の存在が導かれます。任意の集合Aに対して、{A,A}という集合が存在しますが、これはAのみを要素とする単集合{A}と等価です。空集合の公理を仮定すれば、空集合∅に対してもこの議論が適用可能です。
写像との関係: 任意の集合Aと単集合Sに対し、AからSへの写像はただ一つ存在します。これは、Aの全ての要素をSの唯一の要素に写像する写像です。この性質から、単集合は集合の圏における終対象となります。

単集合の応用

単集合は、様々な数学分野で重要な役割を果たします。

位相空間論: 位相空間において、全ての単集合が閉集合であることと、その空間がT1空間であることは同値です。
圏論: 単集合は、集合の圏における終対象です。また、単集合に特定の構造（位相、群構造など）を与えたものは、それぞれの圏における終対象や零対象となる場合があります。
集合の圏(Set): 単集合は終対象です。
位相空間と連続写像の圏(Top): 単元位相空間（単集合に全ての部分集合を開集合とする位相を与えたもの）は終対象です。
群と群準同形の圏(Grp): 単元群（単集合に唯一の元を単位元とする群構造を与えたもの）は零対象です。
定義関数: 単集合Sを、指示関数1S:X→{0,1}で定義することができます。Sが単集合である必要十分条件は、あるy∈Xが存在して、1S(x)=(x=y) (∀x∈X)が成り立つことです。（右辺はアイバーソン括弧）

歴史的背景

ホワイトヘッドとラッセルは、彼らの著書『プリンキピア・マテマティカ』において、自然数1を単集合を用いて定義しました。この定義は、単集合の概念が集合論の基礎において重要な役割を果たすことを示しています。彼らの定義は、集合の要素の同一性と集合そのものの同一性を明確に区別する上で重要な役割を果たしました。

まとめ

単集合は、一見単純な概念ですが、集合論の基礎から、位相空間論、圏論、そして自然数の定義など、数学の様々な分野において重要な役割を果たしています。その性質を理解することは、数学をより深く理解する上で不可欠です。

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