汎函数微分

汎函数微分とは

汎函数微分とは、関数を入力として実数や複素数などの値を出力する「汎函数」と呼ばれるものに対して定義される微分です。これは、多変数関数の微分における方向微分を、無限次元の空間とも言える関数空間に拡張した概念と捉えることができます。また、一変数関数の通常の微分をより広い視点から捉え直したものと見なすことも可能です。数学の厳密な枠組みでは、関数解析学の分野で詳しく扱われます。

定義

汎函数微分 $\delta F/\delta\varphi$ は、与えられた汎函数 $F$ が入力関数 $\varphi$ のわずかな変化に対してどのように応答するかを記述します。数学的には、任意の「試験関数」 $f$ に対して、以下の極限操作によって得られるシュヴァルツ超関数として定義されます。

$\langle \frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta\varphi(x)}, f(x) \rangle = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{F[\varphi(x)+\varepsilon f(x)] - F[\varphi(x)]}{\varepsilon}$

これは、 $F[\varphi + \varepsilon f]$ を $\varepsilon$ に関して展開した際の、$\varepsilon$ の一次の項の係数として現れる積分として表現できます。より厳密には、バナッハ空間のような関数空間ではフレシェ微分、より一般的な局所凸空間ではガトー微分といった概念に対応します。

物理学における形式的な扱い

物理学の分野では、数学的に厳密な試験関数 $f$ の代わりに、ディラックのデルタ関数 $\delta(x-y)$ を用いて汎函数微分を定義することが一般的です。これは、関数 $\varphi$ が特定の点 $y$ でのみ瞬間的に変化したと仮定した場合の汎函数の変化率に相当します。

$\frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta\varphi(y)} = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{F[\varphi(x)+\varepsilon \delta(x-y)] - F[\varphi(x)]}{\varepsilon}$

この定義は直感的で計算に便利ですが、デルタ関数自体が通常の関数ではないため、数学的には形式的な扱いです。 $F[\varphi + \varepsilon \delta(x-y)]$ という表現が常に数学的に意味を持つわけではない点に注意が必要です。

一般的な公式と応用例

多くの物理学的な汎函数は、入力関数とその導関数を含む積分として表されます。例えば、関数 $\rho({\boldsymbol{r}})$ とその勾配 $
abla\rho({\boldsymbol{r}})$ に依存する関数 $f$ を用いて、$F[\rho({\boldsymbol{r}})] = \int f({\boldsymbol{r}}, \rho({\boldsymbol{r}}),
abla\rho({\boldsymbol{r}}))\,d{\boldsymbol{r}}$ のような形で与えられる汎函数です。このような汎函数に対する汎函数微分は、変分法のオイラー・ラグランジュ方程式にも現れる形で計算できます。$\rho({\boldsymbol{r}})$ が積分領域の境界でゼロのような条件を満たす場合、汎函数微分は以下の公式で計算できます。

$\frac{\delta F[\rho({\boldsymbol{r}})]}{\delta\rho({\boldsymbol{r}})} = \frac{\partial f}{\partial\rho} -
abla \cdot \left(\frac{\partial f}{\partial(
abla\rho)}\right)$

より高階の導関数が含まれる場合も、同様の一般化された公式が存在します。

具体的な例

クーロンポテンシャルエネルギー汎函数: 電荷密度 $\rho({\boldsymbol{r}})$ に対する古典的なクーロン相互作用エネルギーは汎函数として定義されます。その汎函数微分は、点 ${\boldsymbol{r}}$ における電荷密度 $\rho({\boldsymbol{r}})$ の変化が、点 ${\boldsymbol{r}}'$ におけるポテンシャルにどのように影響するかを示し、これは点 ${\boldsymbol{r}}$ におけるポテンシャルそのものに他なりません。

運動エネルギー汎函数: 密度汎関数理論では、電子の運動エネルギーを電荷密度 $\rho$ の汎函数として表現することが試みられました。トーマス=フェルミ模型では局所的な $\rho^{5/3}$ の積分、ヴァイツゼッカー補正では関数の勾配 $(
abla\rho)^2/\rho$ を含む積分として与えられ、それぞれの汎函数微分が計算されます。これらの例は、汎函数が入力関数の値のみに依存する場合（局所的汎函数）と、その勾配にも依存する場合で、汎函数微分の計算方法が異なることを示しています。

エントロピー汎函数: 統計力学や情報理論における確率密度関数 $p(x)$ のエントロピー $H[p]$ は、離散変数の場合、$\sum_x p(x) \log p(x)$ に符号をつけた形の汎函数です。その汎函数微分は $-(1 + \log p(x))$ と計算されます。

関数そのもの: 関数 $\rho({\boldsymbol{r}})$ 自身も、ディラックのデルタ関数 $\delta({\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}')$ をカーネルとする積分 $\int \rho({\boldsymbol{r}}')\delta({\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}')\,d{\boldsymbol{r}}'$ という形の汎函数と見なすことができます。この場合の汎函数微分 $\delta\rho({\boldsymbol{r}})/\delta\rho({\boldsymbol{r}}')$ は、デルタ関数 $\delta({\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}')$ そのものになります。

* 指数型汎函数: $F[\varphi(x)] = \exp\left(\int \varphi(x)g(x)\,dx\right)$ のような形の汎函数の微分は、形式的には $g(y)F[\varphi(x)]$ という比較的単純な形になります。

まとめ

汎函数微分は、関数や確率分布など、無限次元の対象に関する変分問題を扱う上で非常に重要なツールです。物理学、情報理論、確率論など幅広い分野で基本的な概念として用いられています。

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