ガトー微分

ガトー微分：方向微分の一般化

ガトー微分は、フランス人数学者ルネ・ガトーの名にちなんで名付けられた数学的概念です。これは、方向微分の概念を一般化し、バナハ空間や局所凸位相線形空間といった関数空間における関数の微分を定義するものです。特に、変分法や物理学における汎関数の微分を考える際に頻繁に登場します。フレシェ微分と密接に関連しており、どちらも関数解析学において重要な役割を果たしています。

ガトー微分の定義

XとYを局所凸位相線形空間、UをXの開集合、F:X→Yを関数とします。u∈Uにおけるψ∈X方向へのガトー微分係数dF(u;ψ)は以下の式で定義されます。

$$dF(u;ψ) = \lim_{τ→0} \frac{F(u+τψ)-F(u)}{τ} = \left. \frac{d}{dτ} F(u+τψ) \right|_{τ=0}$$

この極限が存在する場合、Fはuにおいてガトー微分可能と言われます。この定義において、極限はYの位相に依存することに注意が必要です。XとYが実数体上の空間であれば、τは実数として極限を取ります。複素数体上の空間であれば、τは複素数平面上で0に近づく極限を考えます。また、強収束の代わりに弱収束を考えることで、弱ガトー微分の概念も定義できます。

線型性と連続性

ガトー微分dF(u;・)は、XからYへの写像dF(u;ψ)を定めます。この写像は、任意のスカラーαに対してdF(u;αψ) = αdF(u;ψ)を満たすという意味で斉一次です。しかし、必ずしも加法的ではありません。そのため、ガトー微分係数は線形とは限りません。フレシェ微分との大きな違いの一つです。線形である場合でも、XとYが無限次元であれば、ψに関して連続とは限りません。線形かつ連続なガトー微分係数に対しては、その連続的微分可能性の定式化に複数の方法があります。

例えば、以下の二変数実数値関数Fを考えます。

$$F(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3}{x^2+y^2} & (x,y)≠(0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}$$

この関数は(0,0)においてガトー微分可能であり、その微分係数は以下となります。

$$dF(0,0;a,b) = \begin{cases} \frac{a^3}{a^2+b^2} & (a,b)≠(0,0) \\ 0 & (a,b)=(0,0) \end{cases}$$

これは(a,b)に関して連続ですが、線形ではありません。無限次元の場合、X上の任意の不連続線形汎関数はガトー微分可能ですが、0におけるガトー微分係数は線形でありながら連続ではありません。

フレシェ微分との関係

Fがフレシェ微分可能であれば、ガトー微分可能であり、フレシェ導関数とガトー導関数は一致します。しかし、逆は必ずしも成り立ちません。ガトー導関数が線形かつ連続であっても、フレシェ導関数が存在しない場合があります。ただし、複素バナハ空間Xから別のバナハ空間Yへの関数Fに対しては、ガトー導関数は自動的に線形になります（Zornの定理）。さらに、各点で複素ガトー微分可能で、その導関数が連続であれば、フレシェ微分可能となります。これは、無限次元正則関数論における重要な結果です。

連続的微分可能性

連続的ガトー微分可能性は、大きく2つの方法で定義できます。関数F:U→Yが開集合Uの各点でガトー微分可能と仮定します。一つ目の定義は、写像dF:U×X→Yが連続であることです。この場合、線形性を仮定する必要はありません。二つ目の定義は、u↦DF(u)がUからL(X,Y)への連続写像であることです。ここで、L(X,Y)はXからYへの連続線形写像全体の空間です。バナハ空間では、後者の定義が典型的です。

高階導関数

高階フレシェ導関数は多重線形写像として定義されますが、高階ガトー導関数はそうではありません。Xの開集合U上の関数F:U→Yのh方向へのn階ガトー導関数は以下のように定義されます。

$$d^nF(u;h) = \left. \frac{d^n}{dτ^n} F(u+τh) \right|_{τ=0}$$

これはhに関するn次の斉次関数となります。スカラー値関数の場合、二次変分として以下のような関数を考えることもできます。

$$D^2F(u)\{h,k\} = \lim_{τ→0} \frac{DF(u+τk)h-DF(u)h}{τ} = \left. \frac{∂^2}{∂τ∂σ} F(u+σh+τk) \right|_{τ=σ=0}$$

この二次変分がhとkに関して双線形かつ対称であるための十分条件は、写像DF:U×X→Yが連続であり、二次変分D^2F:U×X×X→Yが連続であることです。

性質

ガトー微分は、微分積分学の基本定理のような性質を持ちます。連鎖律や、剰余項付きテイラーの定理も成り立ちます。

例

ユークリッド空間RN上のルベーグ可測集合Ω上の自乗可積分関数のヒルベルト空間Xを考えます。FをF'=fなる実数値関数、uをΩ上の実数値関数とすると、汎関数E:X→Rを以下のように定義できます。

$$E(u) = \int_Ω F(u(x))dx$$

この汎関数のガトー導関数は、⟨f(u),ψ⟩となります。

参考文献

(参考文献リストは省略)

もう一度検索