減法

減法について

定義

減法（げんぽう）は、二つの数の関係を用いて、ある数から他の数を引くことで得られる結果を示す二項演算の一つです。具体的には、二つの数を用いる加法に基づいて、もし数 c が次の等式を満たせば、

$$
a + b = c$$

この演算に基づき、演算子「−」を使って

$$
b = c - a$$

と表現します。ここで、c から a を引いた結果の数 b は c と a の差とされます。この例を挙げると、\(2 + 3 = 5\) の場合、次の関係が成り立ちます。

• - \(5 - 3 = 2\)
• - \(5 - 2 = 3\)

また、数 a に対して次の関係が成立する数 b を「a の逆元」または「反数」と呼び、この性質は、

$$
a + b = 0$$

の形で示されます。 より特別な場合には、\(-a\)と表すことができ、常に

$$
a + (−a) = 0$$

が成り立ちます。さらに、\(a - a = 0\)から、次のように置き換えられます。

$$
c - a = c + (−a) + a - a = c + (−a)$$

すなわち、減法は減数の逆元の加法として理解できるのです。ただしこれは、a の逆元が確定する場面に限られます。

性質

減法の基本的な性質は加法の性質に依存しています。任意の二つの数 a と b に対して、次の式が成り立ちます。

$$
a - b = a + (−b)$$

このため、もし減数 b が 0 であれば、結果はそのまま被減数 a となり、逆に被減数が 0 の場合は、-b の値になります。例えば、

• - \(a - 0 = a\)
• - \(0 - a = (−a)\)

さらに、減法の中には入れ替え可能な場合があり、

$$(a - b) - c = (a - c) - b$$

や、

$$(a - b) - c = a - (b + c)$$

といった形でも利用できます。ただし、減数と被減数を入れ替える操作はできず、以下のような成り立たない関係があることに注意が必要です。

$$
a - b ≠ b - a\, (a ≠ b)$$
$$
(a - b) - c ≠ a - (b - c)\, (c ≠ 0)$$

このため、減法に関しては交換法則や結合法則は成り立ちません。演算の順序に関しては、左側の演算を優先するのが一般的です。

正負の数の計算方法

2つの数 a と b の減法に関して、符号の違いによる計算方法を理解することが重要です。この場合の具体的な条件を以下に示します。

符号が同じ場合

1. a の絶対値が b の絶対値より大きいとき（\(|a| > |b|\）
- 2つの数がいずれも正の数であれば、\(a - b\) は \(|a| - |b|\) となり、符号は正です。
- いずれも負の数であれば、\(-(|a| - |b|)\) となり、符号は負です。

2. a の絶対値が b の絶対値より小さいとき（\(|a| < |b|\）
- 両数が正であれば、\(-(|b| - |a|)\) となります。
- 負であれば、\(|b| - |a|\) に正の符号을使います。

3. 絶対値が等しい場合
- 差は 0 になります。

符号が異なる場合

1. a が正、b が負のケース
- \(|a| + |b|\) として正の符号です。
2. a が負、b が正のケース
- \(-(|a| + |b|)\) となります。

このように、減法に関する理解は、数の種類や性質によって異なることが分かります。ぜひ、これを踏まえた上で、より深く数の操作を学びましょう。

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