逆元

逆元：数学における「打ち消し」の概念

数学、特に抽象代数学において、逆元は非常に重要な概念です。直感的には、ある演算に対して、その効果を打ち消す元のことです。例えば、数の加法における反数や乗法における逆数は、逆元の具体的な例と言えます。しかし、逆元の定義は扱う代数構造によって微妙に異なってきます。

単位的マグマにおける逆元

まず、最も基本的な代数構造である単位的マグマから見ていきましょう。単位的マグマ (M, •, e) とは、集合 M と二項演算 •、そして単位元 e を持つ代数系です。a • b = e のとき、a を b の左逆元、b を a の右逆元と呼びます。両側逆元、つまり x • y = y • x = e を満たす y が存在するとき、y は x の逆元と呼ばれ、x は可逆です。

全ての元が可逆である単位的マグマは、単位的準群（ループ）と呼ばれます。マグマが複数の左単位元や右単位元を持つ場合、逆元も複数存在する可能性があります。演算が結合的な場合は、左逆元と右逆元が一致し、逆元は高々一つしか存在しません。単位的半群における可逆元の全体は単元群を形成します。

半群における逆元

単位元の存在を仮定しない、より一般的な逆元の定義も存在します。半群 S の元 x が正則であるとは、xzx = x を満たす元 z が存在することです。この z は x の擬逆元と呼ばれます。さらに、xyx = x かつ y = yxy を満たす y が存在する場合、y は x の逆元です。正則元は少なくとも一つの逆元を持ちます。この逆元は必ずしも一意ではありません。

任意の元が正則である半群は正則半群、任意の元が本節の意味での逆元をちょうど一つ持つ半群は逆半群と呼ばれます。ただ一つの冪等元を持つ逆半群は群です。

作用付き半群

逆半群の自然な一般化として、作用付き半群があります。これは、任意の元 a に対し (a°)° = a となる単項演算 ° を持つ半群で、U-半群と呼ばれます。a° は必ずしも a の逆元とは限りません。U-半群の重要なクラスとして、I-半群と-半群があります。群は I-半群にも-半群にもなります。I-半群かつ-半群である構造が逆半群です。正則-半群のよく知られた例として、ムーア・ペンローズ擬似逆行列があります。

具体的な例

実数の逆元

実数 x の加法に関する逆元は -x、乗法に関する逆元は 1/x (ただし x≠0) です。0 は乗法に関する逆元を持ちませんが、0 自身を唯一の準逆元として持ちます。

写像の逆元

写像 g が写像 f の左逆写像であるとは、g ∘ f = iddom f を満たすことです（右逆写像も同様に定義されます）。写像が両側逆写像を持つのは全単射のときのみです。全変換半群は正則半群であり、部分写像全体の成す単位的半群も正則半群です。

行列の逆元

正方行列 M が可逆であるのは、その行列式が 0 でないときです。非正方行列は片側逆元を持つ場合があります。階数落ちした行列は逆元も片側逆元も持ちませんが、ムーア・ペンローズ擬逆行列は任意の行列に対して存在します。

環の擬乗法

乗法単位元を持たない結合環においても、擬乗法と呼ばれる演算を定義することで、擬逆元を考えることができます。

まとめ

逆元は、代数構造によって定義が異なり、その性質も多様ですが、数学における基本的な概念であり、様々な分野で応用されています。本稿では、その基礎的な概念と具体的な例を解説しました。より高度な内容については、専門書を参照してください。

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