反数

反数とは

反数（はんすう）は、ある数に対してその数を加えると結果が0になる数のことを指します。具体的には、数 a に対して反数 b を加えた場合、次の等式が成り立ちます。

$$ a + b = 0 $$

ここで、b は a の反数と呼ばれ、通常は「-a」と表記されます。「-」の記号は負号として知られ、「マイナス a」とも読まれます。このため、a の反数を求めることは、a と b が互いに反数である関係を示しています。また、0 は加法の単位元とされているため、反数は加法における逆元とも言えます。このような逆元のことを、加法逆元（英: additive inverse）と呼ぶこともあります。

引き算と反数

反数の概念から派生して、数に対する引き算が定義されます。a から b を引く操作は、次の通り示されます。

$$ a - b := a + (-b) $$

この表現により、a から b を引くことが、a に b の反数を加えることと同等であることがわかります。「a 引く b」とは、b を a から取り去る意味合いを持ち、一般的には「a マイナス b」として認識されます。引き算に使われる「-」の記号は、反数にも使用され、これを「マイナス記号」と呼びます。

単項演算子と二項演算子

数の反数を表す「-」は、算術演算において単項演算子として機能します。これを単項マイナス演算子（unary minus operator）と呼び、反数を取得するために1つの数に適用されます。一方、減算を表す「-」は、二つの数を必要とするため、二項マイナス演算子（binary minus operator）と見なされます。

反数と逆数

加算に関して反数が存在する一方、乗算において反数に似た概念が逆数（乗法逆元）です。ただし、整数や実数などの範囲では逆数が存在しないこともあるため、反数は常に存在します。しかし、0 を含まない自然数については、反数が存在しない点に注意が必要です。

反ベクトルの概念

反数の概念は、ベクトルにも適用可能で、これを反ベクトル（英: opposite vector）と呼びます。ベクトルの加算における単位元はゼロ・ベクトルであり、あるベクトル v に対して加えたときに結果がゼロになるベクトル w が v の反ベクトルとなります。この関係は次のように表現されます。

$$ v + w = 0 $$

ここで、w は「-v」と表記され、逆に v は w の反ベクトル「-w」でもあります。

反数の性質

反数にはいくつかの重要な性質があります。以下に示します：

1. ある数とその反数を足すと 0 になる： $$ a + (-a) = 0 $$
2. 反数の反数は元の数： $$ -(-a) = a $$
3. 0 から数を引くとその反数： $$ 0 - a = -a $$
4. 0 の反数は 0： $$ -0 = 0 $$
5. 元の数と反数が等しいのは 0 のみ： $$ a = -a ext{ ならば } a = 0 $$
6. 数に -1 を掛けるとその反数： $$ a imes (-1) = -a $$
7. 和の反数は反数の和に等しい： $$ -(a + b) = -a + -b $$

具体例

• - 整数の場合、数 3 の反数は -3 です。
• - 小数の場合、数 5.6 の反数は -5.6 です。
• - 分数の場合、数 2/3 の反数は -2/3 であり、これもまた -2/3 や 2/-3 に等しいです。
• - 複素数の場合、1 + 7i の反数は -1 - 7i となります。

以上が反数に関する基本的な知識と性質についての解説です。反数は数学の基礎的な概念であり、算術や代数の理解に欠かせない要素となっています。

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