湯川ポテンシャル

湯川ポテンシャルについて

湯川ポテンシャル（Yukawa potential）は、主に素粒子物理学や物性物理学で用いられるポテンシャルモデルで、以下の式によって表されます。

$$
U(r) = \alpha \frac{1}{r} e^{-\kappa r}
$$

ここで、$r$はポテンシャルの中心からの距離、$\alpha$は係数、$\kappa$はポテンシャルの到達距離の逆数を示します。このポテンシャルは、中心力ポテンシャルに分類され、特に短距離での力の振る舞いを示すものです。

素粒子物理学における湯川ポテンシャル

湯川ポテンシャルは、1935年に湯川秀樹によって導入されました。彼は、核子間での未知の粒子のやりとりを通じて核力を説明するためのポテンシャルを提唱しました。このポテンシャルの形式は、核力が短距離で働く強い力であることを考慮したものです。具体的には、交換される粒子は有限の質量を持つとされ、その質量は約電子の200倍として予測されました。これが中間子に該当します。このことを示す数学的な表現は次の通りです。

$$

• -\frac{f^2}{4\pi}\frac{1}{r} e^{-\frac{r}{\lambda}}

$$

ここで、$\kappa = \frac{1}{\lambda} = \frac{mc}{\hbar}$です。$c$は真空中の光速、$\hbar$はディラック定数、$m$は中間子の質量を表します。また、$f$は核子と中間子の結合定数を示し、$\lambda$は中間子のコンプトン波長に相当します。

物性物理学での応用

湯川ポテンシャルは物性物理学の中でも重要な役割を果たしています。特に、金属中の不純物による有効静電ポテンシャルの表現に使用されます。この場合、不純物の電荷を$q$とすると、不純物の効果は金属内部の伝導電子によって遮蔽されるため、静電ポテンシャルは通常のクーロンポテンシャルではなく、次の形になります。

$$
U = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r} e^{-\kappa r}
$$

ここで、$\epsilon_0$は真空の誘電率を表し、$e$は素電荷、そして$N(\epsilon_F)$はフェルミレベルにおける電子の状態密度です。また、低温条件下ではポテンシャルの遮蔽を考慮した$\kappa$の式も次のように表されます。

$$
\kappa^2 = \frac{1}{\epsilon_0} e^2 N(\epsilon_F)
$$

さらに、湯川ポテンシャルは強電解質溶液やプラズマの理論においても重要で、これらの状況ではデバイ遮蔽の結果として同様のポテンシャルが現れます。これをデバイ-ヒュッケルのポテンシャルと呼び、その特異的な長さをデバイの長さとしています。

まとめ

湯川ポテンシャルは、短距離での相互作用を記述する上で非常に有用な理論ツールです。特に核力の理解や物質中の不純物の影響を考える際には不可欠な概念であり、物理学における基本的な枠組みを提供しています。

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