中心力

中心力：古典力学における原点指向の力

古典力学において、中心力は物体の位置と原点を結ぶ直線上、原点の方向へ働く力として定義されます。この力は、原点からの距離のみならず、方向にも依存します。数式で表すと、以下のようになります。

\(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) = F(r)\hat{\boldsymbol{r}}\)

ここで、\(\boldsymbol{F}\)は力ベクトル、\(\boldsymbol{r}\)は原点からの位置ベクトル、\(r = |\boldsymbol{r}|\)は原点からの距離、\(\hat{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{r}/r\)は位置ベクトルの単位ベクトル、\(F(r)\)はスカラー関数です。

多くの場合、中心力は球対称性を仮定します。つまり、力は原点からの距離\(r\)のみに依存し、\(F(\boldsymbol{r}) = F(r)\)となります。球対称な力場は常に中心力場となります。

中心力の性質

中心力は保存力であり、ポテンシャルエネルギー\(V(r)\)を用いて、以下の式で表すことができます。

\(\boldsymbol{F}(r) = -
abla V(r)\)

この\(V(r)\)は、任意の定数からの積分で定義されます。保存力であることから、力学的エネルギー（運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和）は保存されます。

\(E = \frac{1}{2}m\dot{\boldsymbol{r}}^2 + V(r) = 一定\)

ここで、\(m\)は物体の質量、\(\dot{\boldsymbol{r}}\)は速度ベクトルです。

中心力では、力によるトルクがゼロとなるため、角運動量\(\boldsymbol{L}\)も保存されます。

\(\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times m\dot{\boldsymbol{r}} = 一定\)

このため、物体は角運動量ベクトルと原点を含む平面内で運動し、ケプラーの第二法則に従います。角運動量がゼロの場合は、物体は原点と物体を結ぶ直線上を運動します。保存力であることから、原点を除き、中心力場は渦なし（回転がゼロ）です。

中心力の例

代表的な中心力としては、重力とクーロン力が挙げられます。これらは、\(F(r) \propto -1/r^2\) と表され、負の\(F(r)\)（引力）を示します。このような力場では、物体の運動はケプラーの法則に従います。

空間的調和振動子の力場は、\(F(r) \propto -r\)という関係を持ち、負の符号を持つ中心力です。

ベルトランの定理によると、\(F(r) = -k/r^2\)と\(F(r) = -kr\) の場合のみ、安定な閉じた軌道を持つ中心力場となります。湯川ポテンシャルも中心力を生み出すポテンシャルの例です。また、二体問題は、換算質量を用いることで中心力場における一体問題に帰着できます。

まとめ

中心力は、古典力学において重要な役割を果たす保存力です。その性質、例、そして関連する概念を理解することで、重力や電磁気力など、多くの物理現象をより深く理解することができます。特にケプラーの法則や保存則との関連性は、中心力の重要性を示す上で重要なポイントです。

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