準同型定理

準同型定理について

準同型定理（じゅんどうけいていり）、英語では fundamental theorem on homomorphismsと呼ばれるこの定理は、抽象代数学の重要なテーマの一つであり、さまざまな代数的構造を持つ対象の間の準同型に関連しています。特に、群に関する準同型の関係を定義し、それらの核と像との関係性を示しています。この定理は、他の代数的構造、如くモノイド、ベクトル空間、加群、環などにおいても成立しています。

定理の内容

群 G および H が与えられたとき、群準同型 f: G → H が存在する場合の定理の主な主張を見てみましょう。この時、G の正規部分群 K が与えられたと仮定します。さらに、自然な射影を表す φ: G → G/K（ここで G/K は剰余群）があります。このとき、次の関係が成り立ちます：

• - K ⊂ ker(f)（f の核）

この状況のもとでは、群準同型 h: G/K → H が存在し、f は以下のように書けます。

$$f = h ∘ φ$$

これを可換図式として表現することができ、具体的には自然な射影 φ が K を単位元に写す G における準同型として最も一般的な事例であることを示しています。特に、K を f の核と置いた時、第一同型定理が得られることもこの定理の重要な側面です。

準同型と同型の違い

準同型は、群や他の代数的構造間での写像で、その構造の一部の性質を保持しますが、同型とは構造を完全に保たれるままの写像を指します。準同型定理は、与えられた構造における写像の性質を理解する手助けをし、さまざまな代数的操作を実行する際の基盤を提供します。

応用

この定理の理論的背景は、群論のみならず、さまざまな数学的領域において広範囲にわたる応用がなされます。例えば、加群や環においても同様の性質が成り立ち、これに基づく証明や計算が数学的な問題解決の手助けをするのです。さらに、準同型定理は、他の重要な数学の定理を証明する際にも利用され、代数的構造を扱う上での根幹を成しています。

参考文献

ここでは、準同型定理に関連するいくつかの文献を紹介します。

• - Beachy, John A. (1999): "Theorem 1.2.7 (The fundamental homomorphism theorem)", Introductory Lectures on Rings and Modules, Cambridge University Press.
• - Grove, Larry C. (2012): "Theorem 1.11 (The Fundamental Homomorphism Theorem)", Algebra, Dover Books on Mathematics.
• - Jacobson, Nathan (2012): "Fundamental theorem on homomorphisms of Ω-algebras", Basic Algebra II, Dover Books on Mathematics.
• - Rose, John S. (1994): "3.24 Fundamental theorem on homomorphisms", A course on Group Theory.

このように、準同型定理は代数の多様な領域に広く応用され、数学の基盤を形成する重要な要素となっているのです。

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