点ごと

点ごと（てんごと）

数学での「点ごと」という用語は、特定の性質を持つ関数 f の各値 f(x) を考えることによって理解されます。この概念は、点ごとの演算と呼ばれる一連の演算を含む非常に重要な数学的原理を形成します。点ごとの演算は、関数に対する演算をその値に適用するものであり、各定義域の点に別々に施されます。また、点ごとに定義された関係も存在します。

点ごとの演算

点ごとの演算の具体例として、以下のような式を考えます。

• - 点ごとの加法:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

• - 点ごとの乗法:

(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)

• - 点ごとのスカラー乗法:

(λf)(x) = λ ⋅ f(x)

ここで、fとgはXからRへの関数を表しています。点ごとの演算には、加法や乗法、スカラー倍などが含まれ、これらは終域における対応する演算の性質を引き継ぎ、結合性や可換性、分配性が成り立ちます。一方、点ごとでない演算の一例は畳み込みであり、これは異なる基本的特性を持ちます。

また、Rの代わりに代数的構造Aを用いることで、XからAへと写像する関数全体の集合が同様の方法で、同種の代数的構造に展開されることも可能です。

成分ごとの演算

成分ごとの演算は通常、ベクトルに対して定義されます。この場合、ベクトルは自然数nと体Kに基づいて形成される集合Knの元と見なされます。たとえば、ベクトルvのi番目の成分をviとした場合、成分ごとの加法は以下のように表されます。

• - (u + v)i = ui + vi

タプルは関数として捉えることができ、ベクトルは実際にはタプルの一例です。従って、任意のベクトルvは、f(i) = viという形の関数f: n → Kに対応し、ベクトルの成分ごとの演算は、そのベクトルに関連する関数の点ごとの演算として理解されます。

点ごとの関係

順序理論において、関数の点ごとの半順序は一般的に定義されています。ここで、AとBが半順序集合であるとき、関数 AからBへの写像全体の集まりは、すべてのx ∈ Aに対して f(x) ≤ g(x) の場合に f ≤ gと順序付けられます。この点ごとの順序は、半順序集合の多くの性質を引き継ぎます。

例えば、AとBが連続束である場合、関数 AからBへの集合は、点ごとの順序をもってしても連続束になります。この理論を利用して、他の重要な概念をシンプルに定義することが可能です。例として、半順序集合P上の閉包演算子は、P上で単調かつ冪等な自己写像であり、加えて恒等写像idA ≤ cを満たすものです。

また、射影作用素kが核作用素であることは、k ≤ idAであることと等価です。無限項の点ごとの関係の一例として、関数の各点収束があります。具体的には、関数列{fn: X → Y}が関数fに各点収束するとは、Xの各元xに対して以下の条件が成り立つことを意味します。

• - lim (n → ∞) fn(x) = f(x)

このように、点ごとの概念は数学における多様な側面に関連しており、解析や代数、順序理論において幅広く応用されています。

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