代数的構造

代数的構造

数学における代数的構造とは、集合に定義された演算や作用によって決定される構造のことです。この概念は、数学全体を少数の概念で記述するために、ブルバキによって導入されました。

代数的構造を持つ集合は代数系と呼ばれます。代数系は、集合と、その集合上での演算規則の組で表されます。代数的構造は、具体的な代数系から共通の性質を抽象化・公理化したものです。

分野によっては、代数系そのものや、代数系が持つ演算族を代数的構造と呼ぶこともあります。現代では、代[[数学]]は代数系を研究する学問と捉えられています。

代数的構造の例

代数的構造は、演算の数や種類によって分類されます。

一つの演算で決まる構造

マグマ: 二項演算が定義された集合です。
準群: `a × x = b`、`y × a = b` を満たす `x`、`y` が一意に決まるマグマです。
ループ: 単位元を持つ準群です。任意の元が左右の逆元を持ちます。
半群: 結合法則を満たすマグマです。
モノイド: 単位元を持つ半群です。
群: 任意の元が逆元を持つモノイドです。または結合法則を満たすループとも言えます。
アーベル群: 可換な群です。

二つの演算で決まる構造

環: 加法についてアーベル群であり、乗法について半群（またはモノイド）で、分配法則を満たす構造です。
体: 0でない元が乗法に関して群（またはアーベル群）をなす環です。

演算と作用で決まる構造

環上の加群: 環が作用するアーベル群です。
ベクトル空間: 体上の加群です。

加群やベクトル空間における環や体の作用は、内部的な単項演算とみなすことができます。これにより、加群、ベクトル空間、多元環などを、群や環と同様に統一的に扱うことができます。

より複雑な構造

代数（多元環）: 乗法が定義された加群やベクトル空間です。
結合代数: 乗法が結合法則を満たす代数です。
可換代数: 乗法が可換な結合代数です。
束: 2つの演算が定義され、冪等、可換、結合的、吸収律を満たす集合です。順序構造から定義することもできます。

これらの代数的構造は、数学の様々な分野で重要な役割を果たしています。

構造の類と種

代数系は、その演算の数と種類が等しい場合、同類であると見なされます。しかし、演算が従う法則が異なる場合、種が異なるとされます。例えば、群は積だけを持つ半群と同類に見えますが、逆元を対応させる写像を含めると半群とは異なる種になります。

環と束は、演算の数と種類が同じであるため同類ですが、分配法則や冪等律の点で異なります。

代数系を種によって分類することで、それぞれの種に属する代数系を抽象的に議論することができ、歴史的には、半群、群、環、多元環、体、束などがこのようにして定義されました。

重要な概念

代数系に関する基本的な概念には、以下のものがあります。

部分代数系: 元の代数系の部分[[集合]]で、元の構造の制限を構造として伴うものです。
準同型写像: 定義域上の演算後に写像した値と、写像後に値域上で演算した値が一致する写像です。

線形代[[数学]]を例にとると、線形空間は代数系であり、線形部分空間は部分系、線形写像は代数系間の準同型写像に相当します。

その他の概念には、生成系、直積、直和、商、拡大、普遍性、表現などがあります。

算法の全域性と局所性

代数系の演算は、必ずしも全ての要素の組み合わせに対して定義されているとは限りません。例えば、実数における四則演算では、除算は0で割ることができないため、非全域的な演算となります。

このような局所的な演算を含む代数系の理論は複雑になるため、数学の分野では避けられる傾向があります。しかし、数理論理学では、形式言語を代数系の一種として捉え、局所的な演算を含む代数系が研究対象となります。

形式言語における論理記号や関数記号、述語記号、推論規則は、それぞれ実行可能な条件が限られた局所的演算と解釈されます。

まとめ

代数的構造は、数学の様々な分野で共通の概念として用いられ、複雑な数学的対象を理解するための重要なツールです。この記事では、代数的構造の基本的な概念とその例、関連する重要な概念について解説しました。

関連項目

圏論
* 抽象代[[数学]]

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